Beweis für : wenn x ungerade dann ist auch x^n ungerade?
Suche einen Beweis für den obenstehenden Satz. x ist Element der ganzen Zahlen und n Element der positiven Natürlichen Zahlen. Ich habe es mit der Kontraposition versucht, komme aber leider nicht weiter. Mein Ansatz war folgender:
A= x ist ungerade
B= x^n ist ungerade
A->B = nichtB -> nichtA (Kontraposition)
nun muss also bewiesen werden dass wenn x^n gerade ist x auch gerade ist
eine gerade zahl ist ein vielfaches von 2 daher gilt:
x^n =2k
dann müsste
x= n-te Wurzel von 2k sein
ab hier komme ich jedoch nicht weiter...
4 Antworten
x ist ungerade:
x = 2k + 1
x^n = (2k + 1)^n
Und jetzt binomischer Lehrsatz:
Man kann das z.B. mit Induktion machen.
IB: n=2 und x = 2k+1 ungerade
(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 ist offenbar ungerade.
IS: n-1 -> n
Nach Induktionsvoraussetzung ist x^(n-1) ungerade.
x^n = x*x^(n-1). Das Produkt von zwei ungeraden Zahlen ist ungerade.
------------
Man kann auch andere, schnelle Beweise wie z.B. das von KarlRanseierIII vorgeschlagenes Argument, dass die Primfaktorzerlegung von x davor und danach keine 2 aufweist. (schön mathematisch argumentiert ist das ein guter Beweis)
Hallo,
ich hätte nochmal eine ergänzende Frage zur Antwort von Quotenbanane.
Und zwar gibst du ja an, dass nach der IV x^(n-1) ungerade ist.
meine Frage wäre, weshalb du hier nicht x^(n+1) als IV nimmst und woher du weißt, dass die IV ungerade ist
außerdem verstehe ich den IS nicht ganz. Folgerst du hier aus (n-1) -> n
Vielen Dank
Induktion funktioniert ja folgendermaßen. Man zeigt, dass die Aussage für einen Anfangswert (hier n=2) stimmt, nimmt dann an, dass die Aussage für die Induktionsvoraussetzung stimmt (hier n-1) und zeigt dann, dass die Aussage auch für den Induktionsschritt, also den darauffolgenden Wert, (hier n) gilt.
Und das habe ich gemacht.
Ich weiß nicht, warum du meinst, man müsse als IV x^(n+1) wählen. Vielleicht verwechselst du da Induktionsschritt/Induktionsvoraussetzung.
Ich hätte als Induktionsschritt auch n -> n+1 wählen können.
Gegenfrage: Was spricht dagegen die Definition von ungerade zu nutzen?
Ungerade ist eine Zahl, wenn sie nicht durch 2 teilbar ist, 2 also nicht Teil ihrer Primfaktorzerlegung ist.
Frage, wo soll der Primfaktor 2 beim Potenzieren denn herkommen?