Ist der Beweis so korrekt?
Hallo zusammen,
ich möchte die folgende Aussage beweisen:
Angenommen n ist eine ungerade Zahl. Beweise, dass n^3-n durch 24 teilbar ist.
Beweis:
Beweis ok?
3 Antworten
1: wenn zwei Terme gleich sind, kommt ein Gleichheitszeichen dazwischen, kein Äquivalenzzeichen.
2: der Schritt, m, m^2 und m^3 einfach durch Z auszutauschen ist Falsch, da eben m, m^2, m^3 für m größer als 1 ungleich sind.
Mit deiner Argumentation wäre k^2+3k für alle k durch 4 teilbar, für k=2 bekommst du aber 2^2+3*2=10, was offensichtlich nicht durch 4 teilbar ist.
3: der letzte Satz müsste lauten "die Teilbarkeit durch 24 wird hierdurch impliziert" (auch wenn die Aussage schon wegen 2. Falsch ist)
Du bekommst aber für m, m^2, m^3 UNTERSCHIEDLICHE ganze Zahlen, wenn du eine ganze Zahl einsetzt. Käme jeweils das selbe raus, wäre der Schritt okay so aber nicht.
2 Mögliche Beweismöglichkeiten:
1. Induktion
2. Schreibe n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1) und begründe das immer gilt, dass ein Faktor durch 2, einer durch 4, und einer durch 3 teilbar ist. (Der Faktor der durch 2 Teilbar ist, und der der durch 4 teilbar ist, sollen Unterschiedlich sein!)
Die 4. Zeile ist unsinnig. Es können nur Folgerungen aus Ausagen gzogen werden. In der 4. Zeile steht keine Aussage. Es sieht so aus als ob du Z ausklammern wolltest. Das geht nicht. Du kannst eine Variable oder eine Zahl ausklammern aber nicht eine Menge.
Hinweis zur Lösung:
8m^3 + 12m2 +4m = 4m* ( 2m^2 + 3m +1) ;
und jetzt machst du drei Fallunterscheidungen:
_1.Fall m = 3k ; 2. Fall m = 3k+1 oder m mod 3 = 1 ; 3. Fall m= 3k+2 oder m mod 3 = 2:
Ok. Wie schreibe ich es dann richtig? Ich wollte sagen, dass wenn m aus Z ist, dann ist das Ergebnis m,m^2,m^3 auch aus Z
Das ist ja trivial. Aber das hilft doch nicht. Warte einen Moment. Ich gebe dir noch einen Tipp.
Nee. Also, abgesehen davon
- dass deine erste Implikation auf keine Aussage verweist
- (Edit: Ich hatte mich verlesen und das "-" für ein "*" gehalten.)
gilt seine Schlussfolgerung nicht. Beispiel: Nach deinem Argument wäre m^2 + 2m immer durch drei teilbar, und das ist nicht so (z.B. für m = 2 gilt das nicht).
Ich habe m,m^2,m^3 durch Z ausgetauscht, weil wenn ich eine Zahl aus Z was für m einsetze, kommt als Ergebnis immer eine Zahl aus Z raus. Wie schreibe ich es dann richtig?
Du willst nicht beweisen, dass das Ergebnis der Berechnung in Z liegt, sondern dass das Ergebnis durch 24 teilbar ist.
2: Ich habe m,m^2,m^3 durch Z ausgetauscht, weil wenn ich eine Zahl aus Z was für m einsetze, kommt als Ergebnis immer eine Zahl aus Z raus. Wie schreibe ich es dann richtig?