Frage von elli758, 56

Wie sind die Nullstellen von f(x)= x* ln (x) -x?

Hallo, ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Aufgrund des Produktes müsste ja entweder x=0 oder ln(x)-x=0 gelten. Dann wäre meine erste Nullstelle ja bei 0 aber die zweite?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 36

Hallo,

Du kannst ein x ausklammern:

x*(ln(x)-1)=0

Dann liegt - wie Du sehr richtig bemerkt hast - eine Nullstelle bei x=0.

Die andere muß demnach bei ln(x)=1 liegen.

Der natürliche Logarithmus einer Zahl gibt an, mit welchem Exponenten die Eulersche Zahl e potenziert werden muß, um auf diese Zahl zu kommen.

Wenn also der ln(x)=1 ist, dann muß die andere Nullstelle bei x=e liegen, also etwa bei 2,718281828

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Polynomo, 31

Du liegst ja schon ganz richtig mit der ersten Nullstelle, dann ist Dir aber ein kleiner Fehler unterlaufen beim Ausklammern :

x*(lnx - x) = xlnx - x²   !!!!! 

Vergleich zeigt Dir das richtige  Produkt   x*(lnx - 1)

Und jetzt findest Du bestimmt ganz einfach auch die zweite Nullstelle .

Gruß Polynomo

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 19

Bevor man sich über die Nullstellen hermacht, müsste doch erst einmal geklärt werden, wie die Funktion gemeint ist. Der Interpretation zufolge, die der FS vorführt, ist die Beklammerung
f(x) = x * (ln (x) - x)
Das widerspricht allerdings den Regeln, die unterstellen würden:

f(x) = (x * (ln (x))  - x

Antwort
von Roach5, 8

x ln(x) - x = 0

x ln(x) = x

ln(x) = 1

x = e.

Warum ist nach Ausklammern x(ln(x) - 1) = 0 -> x = 0 keine Nullstelle?

Weil die Funktion dort eine Definitionslücke hat, ganz einfach. Somit ist x = e die einzige Nullstelle. Trotzdem ist diese Definitionslücke behebbar, da nach L'Hospital der Grenzwert von x ln(x) nach x -> 0 einfach 0 ist. Es ist also eine hebbare Lücke, die eine Nullstelle WÄRE, wenn die Funktion dort definiert WÄRE.

LG

P.S.: Natürlich kannst du keine Klammern setzen, damit ist diese Antwort umsonst -.-

Antwort
von JTR666, 22

Du hast ja 0 = x*ln(x) - x
Dann kannst du rechts ein x ausklammern und erhältst 0 = x*(ln(x) - 1)
ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Also ist entweder x = 0 oder ln(x) - 1 = 0
Okay, eine Nullstelle haben wir mit x = 0, nämlich 0.
Jetzt müssen wir noch die zweite Gleichung analysieren.
       ln(x) - 1 = 0
<=>ln(x)      = 1
<=>e^ln(x)  = e^1
<=>       x    = e

Damit haben wir die Nullstellen x_1 = 0 und x_2 = e

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

Antwort
von authumbla, 23

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