Wie rechne ich die Nullstelle von einer ln-Funktion aus?
Ich habe Probleme mit ln-Funktionen, die jeweils eine Variable im Nenner und Zähler haben. Bsp: 4*(ln(x)/x) oder (ln(x)/x+3). Wie gehe iich damit um, bzw wie rechne ich die Nst aus?
4 Antworten
Wie sonst auch: du setzt x oder y bzw f(x) null und löst dann auf die übrig gebliebene Variabel auf. Bei ln musst du dafür wohl die Logarithmus-Regeln anwenden. Bei deinem ersten Beispiel sieht man zB direkt, dass kein Schnittpunkt mit der y-Achse vorliegt, da beim Nullsetzen von x durch null geteilt wird und das geht ja nicht.
Dabei ist es hilfreich folgende zwei Dinge zu wissen -->
1.) Wenn in einem Bruch der Zähler Null wird, dann wird der Wert des gesamten Bruches Null.
2.) ln(x) hat für x = 1 den Wert Null.
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Daraus ergibt sich für 4 *(ln(x) / x) sofort, dass x = 1 sein muss.
Bei (ln(x) / 3) + 3) ist der Ausdruck Null, wenn ln(x) / 3 = -3 ist.
Es gilt -9 / 3 = -3, also muss ln(x) den Wert -9 annehmen, und das ist der Fall für e ^ (-9) = 0.0001234098041...
Das geht nicht geschlossen von Funktionen der Form ln(x)*x bzw ln(x)/x kannst du x nicht bestimmen.
Die Lösung nennt sich übrigens Lambertsche W Funktion:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion
Die ist zwar x* e^x
Aber wenn du ln(x)*x = 0 nimmst und mit e hoch rechnest kommst du auf x*e^x
Gar nicht ich habs komplett verhaun xD
Aber bei ln(x)/x ist die Nullstelle bei x = 1 weil da der ln(x) 0 wird und der Nenner nicht 0 ist.
4 • ln(x) / x = 0
durch 4 teilen, mal x nehmen, e^bilden
x = e^0
x = 1
stimmt eigentlich kann man nur den Zähler betrachten, denn wenn er null wird wird ja alles null
Ist zwar schon eine Zeit lang her,
aber bei solchen Beispielen musst du immer auf den Definitionsbereich achten:
Wenn du zb ln(x)/(x-1) = 0 hast.
Dann kannst du nicht mehr so vorgehen, du kannst zwar nach wie vor "formal" mit (x-1) multiplizieren und dadurch kommst du wieder auf x = 1, jedoch kann x = 1 keine Nullstelle sein denn für x = 1 ist die Funktion nicht definiert und daher ist x=1 auch nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten.
Diese Unstetigkeit ist zwar hebbar und kann durch eine Definition "repariert" werden, jedoch hast du nacher auch eine andere Funktion und nicht mehr ln(x)/(x-1). Jedoch hat selbst diese "reparierte" Funktion keine Nullstelle bei 1.
Sorry hab mich vertan.
die Lösung für x*e^x = 0 ist natürlich bei x = 0. Denn e^0 = 1.
Die Lambertsche W Funktion brauchst du wenn du zB x*e^x = 10 Lösen willst.