Nullstellen von f(x) = e^x - tx?
f(x) = e^x - tx Nullstellen? Ich habe die Funktion seit weit wie ich konnte umgeformt, aber was muss ich jetzt machen, oder habe ich einen Fehler gemacht?
0= e^x - tx tx = e^x ln(tx) = x ln(t) + ln(x) = x
Vielen Dank für Antworten
5 Antworten
Da x durch einfaches Umstellen mit Schulmitteln nicht allein auf eine Seite gebracht werden kann,
empfehle ich den Umkehrfunktionen Rechner unter
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
Dort sieht man, dass die Umkehrfunktion zu x * e^x die LambertW - Funktion ist:
e^x = t * x | /-t
-e^x/t = -x | *e^(-x)
-1/t = (-x) * e^(-x) | jetzt Umkehrfunktion
x1=-LambertW(-1/t)
x2=-LambertW(-1, -1/t)
Da LambertW(-1/e)=-1 gibt es 5 Fälle:
A) t > e: 2 reelle Nullstellen
B) t = e: 1 reelle Nullstelle Bild1
C) t < e: 2 komplexe Nullstellen
D) t=0 1 Nullstelle bei x=-UNENDLICH
E) t<0 -> x=-LambertW(-1/t)
Neben der exakten Lösung kann man bei konkretem t auch verschiedene Numerische Verfahren anwenden:
Beispiele mit t=4 und Bilder nur für x2:
exakt: x2=-LambertW(-1, -1/4) = 2.15329236411034964916909915...
Bisektion: Iterationsrechner Beispiel2 Bild 3
selbstkonvergierende Iterationsfunktion: Die von Dir selbst vorgestellte Funktion
f(x) = log(x) + log(4) hat bereits die Eigenschaft der Selbstkonvergenz, d.h. man startet mit einem x
und nach den Einsetzen bekommt man ein "besseres" x. Nach 0=42 Durchläufen hat man die gewünschte Genauigkeit.
Mit dem Newton-Verfahren (Ableitung nötig) kann man die Konvergenzgeschwindigkeit noch verbessern.
Bild 4
Hinweis: wenn Dir das alles zu hoch ist, vermute ich ein Fehler Deiner Ausgangsgleichung.
Wenn z.B. statt t * x ein "tx" steht, ist "tx" als Konstante (z.B. Zeit) und nicht als "Funktion von x" anzusehen und dann ist eine Umstellung leicht!
Die Umformung sollte eigentlich so aussehen:
0= e^x - tx
tx = e^x
ln(tx) = x
ln(t) + ln(x) = x
Das kann man aber genauso wenig geschlossen lösen wie die ursprüngliche Gleichung.
Ich denke, dass deine Umformung stimmt, aber nicht sehr viel weiter führt. Ich untersuchte erst einmal, ob bzw. wann überhaupt Nullstelle existieren, und bin das mit einer Fallunterscheidung angegangen, die Ergebnisse der Kurvendiskussion nahelegen.
Alle Kurven der Schar sind einheitlich positiv gekrümmt, d.h. die erste Ableitung steigt überall.
Fall 1: t > 0
Für t > 0 existiert genau ein Minimum bei x0 = ln(t).
Da die betrachteten Funktion der Schar für x → -∞ die Asymptote g(x) = -tx mit negativer Steigung haben, steigen sie sowohl für x → ∞ als auch für x → -∞ über jeden reellen Wert.
Da die Funktionen einheitlich positiv gekrümmt sind, sind ise in (- ∞, ln(t) ] und in [ ln(t), ∞) jeweils streng monoton, und bei x0 ist ein globales Minimum.
Unterfall 1.1: 0 < t < e
f(x0) ist > 0 für 0 < t < e, also haben die Funktionen der Schar für diese t keine Nullstelle.
Unterfall 1.2: t = e
f(x) = 0 für x0 = 1, wenn t = e, und das ist dann die einzige (leicht nachzurechenende) Nullstelle.
Unterfall 1.3: t > e
f(x0) ist < 0 für t > e. Für f(x0) < 0 gibt es wegen des Monomotonieverhaltens der Funktionen genau eine Nullstelle links des Minimums und genau eine rechts des Minimums.
Die schlaue Maschine sagt mir, dass sich diese Nullstellen mit der Lambertschen W-Funktion beschreiben lassen; dies sprengt aktuell aber meinen Horizont und ist sicher ∉ Schulstoff.
Fall 2 : t = 0
Für t = 0 gehört die natürliche Exponentialfunktion zur Schar; diese hat bekanntlich keine Nullstelle.
Fall 3: t < 0
Für t < 0 existiert kein Extremum.
Da die betrachteten Funktionen der Schar für x → -∞ die Asymptote g(x) = -tx mit positiver Steigung haben, steigen sie zwar für x → ∞ über jeden reellen Wert, aber für x → -∞ fallen sie unter jeden reellen Wert.
Da für t < 0 kein Extremum existiert und die Kurven einheitlich positiv gekrümmt sind, steigen sie überall streng monoton und haben also genau eine Nullstelle.
Wieder sagt mir die schlaue Maschine, dass sich diese Nullstellen mit der Lambertschen W-Funktion beschreiben lässt; Kommentar hierzu s.o.
Das geht mit Schulmitteln nicht. Eine Lösung wäre nur mit der Lambertschen W-Funktion möglich, und die ist kein Schulstoff.
Du könntest den Funktionsgraph zeichnen und eine ungefähre Lösung an der Zeichnung ablesen. Oder ein Näherungsverfahren verwenden, falls ihr sowas hattet.
Für t = e geht die Nullstelle mit schulischen Mitteln schon, und auch sonst lässt sich einiges über Existenz und Anzahl der Nullstellen mit schulischen Mitteln sagen, s.u.
das kannst du nicht nach x umstellen; an die Nullstellen kannst du dich nur annähern.
Die LambertW Funktion ist analog zur Wurzel Funktion:
- genau so anerkannt bei Mathematikern
- wird für mehr als 100 Stellen auch Iterativ berechnet
- hat etwa die gleiche Iterationsgeschwindigkeit
- bei Argument x=3 kann man für beide 1 Mio. Stellen berechnen
Nur einige Lehrer wollen das den Kindern "vorenthalten" :-(
Man soll ja die Kinder nicht zwingen das auswendig zu lernen, aber sagen könnte man es den Kindern schon nach 2000 Jahre Mathematik...