[Mathe] Extremstellen und Asymptote?

Guten Abend,

ich benötige bei der Aufgabe noch ein wenig Hilfe.

1. Leider verstehe ich die Begründung noch nicht so ganz, wieso K immer oberhalb der Asymptote verläuft. Dort steht ja in dem Lösungsvorschlag folgendes: „Wegen e^-x > 0 für alle xeR liegt K oberhalb der Asymptote.“. Über eine genaue Erklärung von euch würde ich mich sehr freuen.
2. bei der Berechnung der Extremstellen bin ich auf x = -ln(1/2) gekommen, was laut meinem Taschenrechner das gleiche wie x = ln(2) ist. Wieso ist das das gleiche? Ist meine Angabe von x = -ln(1/2) als Nullstelle schlechter als die Angabe in der Lösung von x = ln(2)? Wie kommt man überhaupt darauf, dass -ln(-1/2) das gleiche wie ln(2) ist?

Answer 1

[Hamburger02]

Zu 1)

f(x) = 0,5 x + 1 + e^(-x)
g(x) = 0,5 x + 1

Nun vergleichen wir mal f(x) sowie die Asymptote g(x). Der Anfang mit 0,5x + 1 ist identisch.

bei f(x) wird gegenüber g(x) aber immer noch über den gesamten Definitionsbereich e^(-x) addiert. e hoch irgendwas kann aber nie negativ werden, sondern ist immer positiv, wenn auch sehr klein. Zu g(x) wird also immer noch ein bischen addiert, um auf f(x) zu kommen. Deshalb liegt f(x) immer um diesen Wert von e^(-x) über der Asymptote.

zu 2)

erste Rechenregel:

ln (a/b) = ln a - ln b
Daher:
ln(1/2) = ln 1 - ln2

zweite Rechenregel:
irgendein Lograithmus (Basis egal) von 1 ist immer = 0, da irgendwas hoch 0 immer 1 ergibt.
Daher: ln 1 = 0

Nun im Zusammenhang:
-ln(1/2) = - (ln1 - ln2) = -(0 - ln2) = ln2

Comments

[maennlich2002]

Das hast du wirklich perfekt erklärt, ich habe es direkt beim ersten Mal durchlesen verstanden! :-) Vielen lieben Dank 🤩

Answer 2

[Fabian21723]

Zu 2: -ln(1/2) = -1* (ln(1) - ln(2)) = -1 * (0 - ln(2)) = -1 * (-ln(2)) = ln(2)

Zu 1 kann ich gerade leider nicht weiterhelfen