Wie lautet die Stammfunktion dieser e-funktion?
∫ 10te^(-0,5t) dt = [ ? ]
Ich bräuchte einen einfachen und verständlichen Rechenweg.
Wie kommst du zu der Aufgabe ohne Vorkenntnisse?
Ich habe Osterferien und möchte in meiner Freizeit freiwillig die Integration von e-Funktionen lernen und habe dafür eine alte Funktion aus meinem Mathe-Arbeitsblatt rausgenommen.
3 Antworten
Probier es mit partieller Integration — den eᵗ-Teil kannst Du ja integrieren, und den t-Teil kannst Du differenzieren.
Ich ergänze die Antwort um den genauen Rechenweg. Wenn Du aber wirklich nicht weißt, was partielle Integration ist (≈ die Umkehrung der Produktregel beim Differenzieren), dann sehe ich schwarz, und Du mußt mir einfach den Rechenweg glauben. Daß die Lösung stimmt, kannst Du durch Differenzieren sehr leicht selbst überprüfen.
Ich hoffe ich habe mich nicht vernudelt.
Es hilft, wenn Du weißt, daß die Ableitung einer Funktion eᵏˣ nach x die Funktion keᵏˣ ergibt.
Ich kann jeder Ihrer richtige gut nachvollziehen, allerdings frage ich mich, weshalb im Zweiten Schritt nochmal die 20e^(-0,5t) integriert wird?
Liegt es daran, dass im ersten Schritt im hinteren Teil die 10t zu 10 abgeleitet worden ist und im Zweiten Schritt (also im zweiten Absatz) das irgendwie integriert oder ausgeglichen werden muss, meine Wortwahl ist nicht passend, aber verstehen Sie was meine Frage ist?
Lernt man Ableiten , lernt man auch die Produktregel . Meistens ist sie einfach da und wird nicht groß erklärt oder hergeleitet
Dasselbe gilt nun für die Grundformel der partiellen , also teilweisen , Integration . Die muss man so hinnehmen :)) ........... Teilweise deswegen , weil auch nach dem ersten Schritt immer noch ein Integral dasteht.
Ziel ist es , aus einem Produkt ,was man nicht integrieren kann , etwas integrierbares zu zaubern .
Hierzu muss man vorausschauend planen , damit das neue Integral in dieser Summe wirklich integrierbar ist
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Man stellt sich das Ausgangsintegral als Produkt eine Fkt und einer Ableitung vor , bildet von der Ableitung das Integral und von der Fkt die Ableitung
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in deinem Beispiel ist zwar bei beiden Teilen ableiten oder integrieren ohne weiteres möglich , da man aber schon absehen kann , dass die Ableitung von 10t nur zu einem nicht weiter störenden Faktor 10 führt , setzt man 10t als u und die e-Fkt als v' , die man integrieren muss
u = 10t ..... u' = 10
v' = e^-0.5t ..... v = (1/-0.5)*e^-0.5t
10t *
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Im ersten Schritt entsteht also
10t * -2*e^-0.5t - Int ( 10*-2*e^-0.5t)
-20t*e^-0.5t - (Int -20*e^-0.5t)
Letzteres lässt sich nun ohne Probleme zu +40*e^-0.5t integrieren .
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Fazit : man muss planen und es ist durchaus eine Kunst partiell zu integrieren.
Möglich ist auch ,dass man mehrmals hintereinander par Integrieren muss
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PS
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hätte man
u = e^-0.5t ..... u' = -0.5*e^-0.5t
v' = 10t .... v = 5t²
gewählt , würden die 5t² im Integral auftauchen und man wäre keinen Schritt weiter , genauer : Noch weiter weg
...........
Ich habe keine Ahnung was eine partielle Integration ist. Ich habe noch nie e-Funktionen integriert.