Wie oft muss man würfeln?
Wie oft muss man würfeln, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% sechs mal eine 6 würfelt?
5 Antworten
Hallo,
Du mußt die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 5 Sechsen bei n Würfen von 1 abziehen bzw. das n suchen (n=Zahl der Würfe), für das p (X=0 bis 5) auf unter 0,01 sinkt.
Dazu rufst Du die kumulative Binomialverteilung auf Deinem Rechner auf, wählst p=1/6, k=5 und probierst, ab welchem n der Wert auf unter 0,01 sinkt. Das ist die gesuchte Anzahl.
Zur Kontrolle: n=75
Herzliche Grüße,
Willy
n >= 6: n Anzahl der Würfe, a = (1/6)^6 = ca 0,00214335 % b = (5/6) = ca 83,3333 %
W("6 mal 6";n=6) = a > 0,0021 %
W("6 mal 6";n=7) = (1 aus 7) * b^1 * a = 7 * b * a > 1,2502 %
W("6 mal 6";n=8) = (2 aus 8) * b^2 * a = (8! / (6! * 2!)) * b^2 * a = (8 * 7)/(2*1) * b^2 * a = 28 * b^2 * a > 4,1676 %
W("6 mal 6";n=9) = (3 aus 9) * b^3 * a = (9*8*7)/(3*2*1) * b^3 * a = 84 * b^3 * a > 15,0034 %
allgemein: W("6 mal 6";n) =((n-6) aus n) * b^(n-6) * a > 0,99
also mir fällt jetzt auch nichts besseres ein als immer ein n höher einzusetzen, also n = 10, n = 11 , n = 12 ... usw. bis eben wie bei den ersten drei was rauskommt das größer 99% ist. Viel spass beim Einsetzen ... kann lange dauern wenn du kein Computerprogramm benutzt.
achja für den fall dass du den Ausdruck (k aus n) nicht verstehst, das ist
n! / ((n-k)! * k!) und k! ist gesprochen k Fakultät und das berechnet sich zu k * (k-1) * (k-2) * .... * 1. Eben als Reihe von Faktoren. Wie im Beispiel (3 aus 9) = 9! / (6! * 3!) = (9 * 8 * 7 * .... * 1) / ((6 * 5 * ... * 1) * (3 * 2 * 1)) = 9 * 8 * 7 / (3 * 2 * 1).
sorry ich hab oben das a falsch eingesetzt ab n =a 7 ... es ist Faktor 100 kleiner. a = 0,0000214335. .... aber ansonsten wie im Beispiel fortfahren.
du kannst natürlich ins blaue hinen erstmal mit n=30 anfangen. ist das dann kleiner 99% dann n= 31 , n=32 usw. Ist es bereits größer, dann n= 29, 28 , 27 ... usw. so gehts schneller. Oder aber du schreibst ein Computerprogramm zur Berechnung mit Schleife und Abbruchbedingung. Ergebnis ist der Schleifenzähler bei Abbruch.
W("6 mal 6"; n=30) = (24 aus 30) * b^24 * a = 593775 * b^24 * a > 16,00 %
Neuer Versuch:
die Wahrscheinlichkeit, MINDESTENS 6 mal eine 6 zu würfeln, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu MAXIMAL 5 mal eine 6 zu Würfeln.
Du berechnest also die Wahrscheinlichkeiten für 0 Mal, 1 Mal, ... 5 Mal 6, addierst diese und bildest die Gegenwahrschinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit, i mal von n Würfen eine 6 zu werfen, ist bei einem fairen Würfel:
(1/6)^i * (5/6)^(n-i) * (n über i).
Für i = 0 also (1/6)^0 * (5/6)^n * 1, für i = 1 (1/6)^1 * (5/6)^(n-1) * n, usw.
Wenn die Summe für i = 0 bis i = 5 kleiner 1% ist, ist deine Anforderung erfüllt!
Ab 26 Mal ist die Wahrscheinlichkeit > 99%.
Dabei gehst du von der Gegenwahrscheinlichkeit, NIE eine 6 zu Würfeln aus.
Diese ist (5/6)^n.
Deine gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann 1-(5/6)^n
EDIT: sehe gerade: es ging dir um 6*6 nicht um 1*6, nehme alles zurück!
Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln liegt bei 1:6.
x6 = 36
Also 36 mal würfeln für 6x 6er.
Kann sein das ich falsch liege, aber so hört es sich für mich logisch an..
Ja, du liegst falsch. Selbst wenn sich Wahrscheinlichkeiten so addieren würden, wie du es fälschlich annimmst: wie begründest du die 99%? Warum nicht 100% oder 100/6 %? - Deine Angabe ist völlig willkürlich.
Bei 36 Würfen ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Sechsen "nur" 57%.
Wie kommt man dadrauf?