Wie kann man zeigen, dass die Summe von beliebig vielen geraden Zahlen auch gerade sein muss?

Kommt drauf an mit welchem Verfahren du das beweisen willst.

Du kannst entweder einfach argumentieren, dass, wenn in der Primfaktorzerlegung einer Zahl die 2 vorkommt, sie dann gerade ist. Wenn wir nun eine Summe machen, können wir aus den ganzen Primfaktoren am Ende (mindestens) eine 2 ausklammern. Das Produkt von 2 mit einer anderen Zahl muss gerade sein.

2+(2*2)+(3*2)+(2*2*2)+(3*2*2)... = 2(1+2+3+2*2+3*2...)

Vielleicht etwas korrekter und formeller und (unnötig) ausführlicher geht das mit vollständiger Induktion z.B.:

Die geraden und ungeraden Zahlen sind so definiert, dass auf eine gerade Zahl immer eine ungerade folgt und anders herum. Ferner wissen wir, dass eine gerade Zahl multipliziert mit einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ergibt.

Wir zeigen also, dass bei einer beliebigen Summe der geraden Zahlen am Ende eine gerade Zahl herauskommt. Dazu benutzen wir obiges Wissen bzgl. 'gerade mal ungerade gleich gerade'. Wenn wir eine beliebige, natürliche Zahl n haben, dann gibt es eine darauf folgende Zahl n+1. Ist n gerade, so ist n+1 ungerade. Ist n ungerade, so ist n+1 gerade. In jedem der beiden Fälle ist aber n(n+1) gerade.

Nun beweisen wir mit vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden Zahlen äquivalent zu n(n+1) ist, dazu benutzen wir, dass 2 eine gerade Zahl ist und 'gerade mal gerade gleich ungerade', sodass 2i unabhängig von i immer gerade ist. Das ist also unsere Behauptung:



Induktionsanfang mit n=1:



Induktionsschritt mit n -> n+1:



Wir haben also im Induktionsanfang gezeigt, dass unsere Gleichheit für n=1 gilt, und im Induktionsschritt, dass, wenn sie für n gilt, dann auch für (n+1). Sie gilt also für 1, also auch 2, also auch 3...

Insgesamt für alle n aus den natürlichen Zahlen.

Da n(n+1), wie oben beschrieben immer gerade ist, ist auch die Summe von 1 bis n aller geraden Zahlen gerade.

[Ob du jetzt bei 2 anfängst oder woanders ist prinzipiell egal, da du ja dann nur wieder eine Summe gerader Zahlen abziehst (die bewiesenermaßen gerade ist) und eine gerade Zahl minus eine gerade ist auch wieder gerade. So sind auch Sprünge möglich]

Du musst eigentlich nur zeigen, dass die Summe von zwei beliebigen geraden Zahlen gerade ist. Die Addition von 3 Zahlen ist ja nur die Addition der Summe von zwei Zahlen (was dann ja gerade wäre) und einer geraden Zahl. Der Rest lässt sich beliebig wiederholen.

Seien x und y also zwei beliebige gerade Zahlen mit x = 2*n und y = 2*m (m, n € N).

Dann folgt x + y = 2(n+m).

Bleibt nur zu zeigen, dass n+m € N ist. Da die natürlichen Zahlen eine Gruppe bilden ist das leicht bzw. bewiesen.

Seien 2r gerade Zahlen mit natürlichen Zahlen r und da 2r+2r=2(r+r)=2(2r) trivialerweise ebenfalls gerade, dann ist auch

2n*2 + ... + 2n*2i + ... + 2n*2k

= 2n(2+...+2i+...+2k)

gerade.

Beliebig viele ist blöd, du willst schon, dass von deinen beliebig vielen Zahlen nur endlich viele von Null verschieden sind ^^ ansonsten nutze einfach die Definition einer geraden Zahl (n ist gerade, wenn eine ganze Zahl m mit n = 2m existiert).

Hier ein Ansantz.

Du kannst für eine gerade zahl x immer ein n aus N finden für das gilt n * 2 = x