Weshalb teilt man bei der Polynomdivision nur durch x anstatt durch (x-Nullstelle)?
Hallo, ich habe mal eine ganz doofe Frage zur Polynomdivision. Dazu ein kurzes Beispiel.
(ax^3+bx^2+cx):(x-"geratene Nullstelle") = irgend eine neue Gleichung.
Wenn man nun dividiert rechnet man zu allererst (ax^3):(x) und hier habe ich ein kleines Verständnisproblem. Wieso teilt man hier nur durch x und nicht durch die gesamte Klammer, also durch (x-Nullstelle)? Bei der Rückmultiplikation (oder wie man das nennen mag) muss ich die "-Nullstelle" ja schließlich auch beachten. Weshalb ignoriere ich diese also bei der Division?
5 Antworten
Bildungsgesetz von "ganzrationalen Funktionen"
y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)....(x-xn)*a
x1,x2,x3..xn sind die "reellen Nullstellen"-Schnittstelle mit der x-Achse- der Funktion.
das Ganze wird dann mit a mal genommen
Also mußt du die funktion (........) : (x-x1)=... dividieren ,damit sich der höchste Exponet x^n um 1 vermindert (....) : (x-x1)=x^(n-1)+/- ......
Bei y=f(x)=0=a*x^3 gibt es allerdings nur 1 Nullstelle bei x=0
du kannst ja die neue Gleichung mal (x-3) nehmen und bekommst dann wieder
ax³ +bx²+cx raus; das heißt, du hast doch durch (x-3) geteilt und nicht nur durch x
vielleicht so zu erklären
4568 : 21 ; da kann ich 4:2=2 rechnen und dann aber 2 • 21 usw
Danke, jetzt begreif ich es glaub langsam wie man das macht, wie das allerdings möglich ist, das ist mir immernoch ein Rätsel.
Hallo,
wenn Du eine Polynomfunktion dritten Grades hast und in allen Faktoren ein x auftaucht, klammerst Du natürlich dieses x aus, um die Funktion um einen Grad zu reduzieren.
Wenn's Dir Spaß macht, kannst Du natürlich auch eine andere Nullstelle außer der 0 raten und dann durch x-Nullstelle teilen. Niemand wird Dir das verbieten.
Aber bei einer Gleichung wie ax³+bx²+cx=0 wäre das unnötig.
Nach Ausklammern von x bleibt x*(ax²+bx+c)=0, mit einer Nullstelle bei x=0.
Die beiden anderen werden, falls im Reellen vorhanden, über die üblichen Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung gelöst.
Ganz anders sieht es bei der Gleichung ax³+bx²+cx+d aus.
Hier bringt einen das Ausklammern von x nicht weiter, weil dann in der Klammer der Term d/x auftaucht.
Hier brauchst Du entweder die Cardanische Formel, ein Näherungsverfahren, einen Rechner, der das lösen kann oder eben eine geratene Nullstelle mit anschließender Polynomdivision durch x-Nullstelle.
In allen diesen Fällen solltest Du auf jeden Fall das a ausklammern, also den Faktor vor x³.
Herzliche Grüße,
Willy
Sieh es mal so: Welche Nullstelle drängt sich hier (ax^3+bx^2+cx) geradezu auf? Na, die 0. Und dann teilst du halt durch (x-0) und das ist dasselbe wie x.
Und wenn du das wieder zurückrechnest, dann hast du ja auch genau wieder den Faktor x.
Oder meinst du was anderes?
Wenn die Nullstelle 0 ist, dann macht es für mich auch so weit Sinn, aber die Nullstelle kann ja eben auch andere Werte für x annehmen, so dass man beispielsweise mal durch (x-3) dividieren müsste (mein Beispiel oben wäre in dem Fall vielleicht etwas schlecht gewählt)
Ich versteh dein Problem nicht ganz. Ich benutz mal fantasie zahlen.
Würdest du (ax^3+bx^2+cx) durch (x-3) teilen, dann teilst du ja nicht nur durch x sondern musst durch (x-3) teilen.
Also wenn man sich einfach mal einen Abschnitt aussucht, beispielsweise ax^3 dann wäre das Ergebnis nach der Division bzw. der Teil der neuen Gleichung der diesem Abschnitt entspringt (wenn ich keinen Fehler mach) ax^2.
ax^2 ist jedoch die Lösung zur Rechnung (ax^3):(x) und nicht für (ax^3):(x-Nullstelle). Habe ich hierbei einen Rechenfehler?
Ok, jetzt komme ich dem näher, was dein Problem ist. Ja, du berechnest das für die aktuell höchste Potenz, weil du das an der Stelle wissen willst. Im nächsten Schritt multiplizierst du das dann ja wieder mit (x-x0) und ziehst das Ergebnis vom Polynom ab. Dieses "Ich dividiere mal nur durch x" ist nur ein Zwischenschritt.
(ax³ +.... irgendwas ) : (x- x0) = ax² + irgendwas_anderes
Der restliche Term, der sich durch die eigentliche Division durch x-x0 ergibt, schwebt sozusagen noch im Raum.
Warum ist das so?
Wenn ich ein Polynom vom Grad n durch (x-x0) addiere (also durch ein Polynom vom Grad 1), dann weiß ich schon mal sicher, dass da ein Polynom vom n-1 herauskommt. Ich will also im ersten Schritt erstmal wissen, welcher Faktor vor dieser Potenz steht - um alles andere kümmere ich mich später.
Ok, ich glaube jetzt ist sogar mir ein Licht aufgegangen. Allerdings hätte ich da immernoch eine allerletzte Frage.
"Der restliche Term, der sich durch die eigentliche Division durch x-x0 ergibt, schwebt sozusagen noch im Raum."
Wann genau berücksichtige ich dann diesen restlichen Term? Mache ich das im Prinzip automatisch indem ich mein "Ergebnis" mit (x-x0) multipliziere?
Ich habe gerade versucht, dein Beispiel mit 4568:21 so zu rechnen, scheiter daran aber leider. Könntest du mir bitte den Rechenweg dazu angeben?