Polynomdivision und Linearfaktorzerlegung?
Hallo Gutefrage.net Community ich habe folgende Frage:
Geg: f(x) = (x-a) * (x-b) * (x-c), wobei a,b und c ganzzahlig sind.
1) Nullstellen ablesen.
Die Nullstellen müssten ja in diesem Fall a,b unc c sein xn1(a|0) xn2 (b|0) und xn3 (c|0) Ist dies richtig?
2) Funktionsgleichung umformen in eine Darstellungsform ohne Klammern. Mein Ergebnis: f(x)= x³-bx²-ax²+abx-cx²-bcx²-acx+abc (Kann man das vielleicht noch einfacher darstellen? Ist dies richtig?
3) Begründen folgende Aussage: Kandidaten für Nullstellen von f sind Teiler des absoluten Gliedes der Funktionsgleichung
In diesem Fall müsste ja abc das Absolutglied sein, jedoch weiß ich nicht wie ich diese Frage beantworten soll.
Danke für jede Antwort.
6 Antworten
Niemand stellt das mit allgemeinen Zahlen ausgerechnet hin.
Die Darstellung ist einfach: f(x) = a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄
Das Ausrechnen macht man dann in der rechnerischen Praxis.
Warum ist nun a₄ = abc ?
(Absoutglied enthält alle Lösungen)
Weil jeder andere Summand bei Ausmultiplizieren mindestens ein x enthält, nur das Absolutglied nicht. Es ist aber das Produkt aus den Lösungen, und darum sind alle Lösungen in ihm enthalten, ggf. auch doppelte oder dreifache (also zweipunktige Berührungen oder gar dreipunktige).
Zu Punkt 2) . Beschäftige dich mal mit ===> Vieta dem geschmähten Stiefkind . Aber bitte wohl dosiert beginnen; fang erst mal an mit dem Vieta einer quadratischen Gleichung. Ist im Internet übrigens mega cool erklärt.
Wenn du das erst mal so weit verstanden hast, folgt der Vieta einer Gleichung 3 . Grades; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
Also was ist denn das für ein Chaos . Die Nomenklatur geht doch ganz andreas. Die drei Wurzeln eines kubistischen Polynoms heißén x1;2;3 . Dem gemäß die " gepackte " Normalform ( Darstellung mittels Linearfaktoren )
f ( x ) = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( 1 )
und die " ungepackte " Normalform ; die Koeffizienten heißen immer a2;1;0
f ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 2 )
Beim Klammern Auflösen, dem Schritt von ( 1 ) nach ( 2 ) , passiert doch weiter nix wie ===> Koeffizientenvergleich; Vieta belehrt dich darüber, was am Schluss bei rauskommt. Wie gesagt für FRS
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 3a )
a0 = - x1 x2 x3 ( 3b )
a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 ( 3c )
( 3a-c ) heißen auch ===> symmetrische Funktionen, weil sie richtig bleiben, wenn du die drei Nullstellen vertauschst ===> Permutation .
So ich schick lieber erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist. Es folgt aber noch eine Fortsetzung Teil 2 , betreffend Punkt 3 deiner Frage. Und deinem Lehrer gehört ordentlich eine gescheuert; na wirste gleich selber sehen.
Irgendwo bin ich schon Typ " Gilgamesch " ( Vielleicht intressiert dich ja, was der geleistet hat. )
Weil auf dem Gebiet des SRN hab ich völlig neue Metoden entwickelt. Ich lasse euch das auch alles wissen. Keiner greift es auf, zitiert es oder entwickelt es weiter. Weder Lehrer noch Schüler noch Studenten, die sich hier als User im Netz tummeln.
Ausgehend vom SRN und von den Vietaformeln ( 1.3a-c ) werde ich dir nun meine Spezialentwicklung vorstellen, wie man die Wurzeln deines Polynoms finden kann.
Dem biblischen Tschieses wird ja nachgerühmt, dass der nicht abstrakt denken konnte. Weil der sagte nie " Hey du Schlaffo; was geht ab? Ich seh das so und so. " , sondern er umschrieb seine Ansichten in Gleichnissen. Und genau das werde auch ich jetzt machen .
( Der brave Soldat Schwejk wirkt ja aus dem selben Grunde charakteristisch; der sagt nie, so sehe ich das, sondern " Damit ich net vergess, Ihnen zu verzählen. " )
Juristen sind dafür bekannt, dass sie die Löcher in ihren Gesetzen by trial and error stopfen. 1920 waren drei Jugendliche wegen Autodiebstahls angeklagt; ihr Anwalt instruierte sie, sie sollten sagen, aus Übermut hätten sie lediglich eine Spritztour gemacht.
Aha; ein Gesetz gegen das " unbefugte Führen eines KFZ " musste her .
Was vor mir noch keiner geschnallt hat. Kein Buch und kein Internetportal. Und Wiki schon gleich gar nicht .
Die Aussage des SRN hat doch für beliebige Polynome gar keinen Sinn. Sondern nur für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt ) Ist dir das irgendwo klar?
Da trifft es sich doch ganz hervor ragend, dass das Deprived Girl in ihrer Antwort ein Beospiel hat:
f1 ( x ) := 5 x ³ - 30 x ² + 55 x - 30 ( 2.1a )
f2 ( x ) = x ³ - 6 x ² + 11 x - 6 ( 2.1b )
( 2.1a ) ist doch das selbe Polynom wie ( 2.1b ) - siehst du das? ( 2.1a ) geht doch aus ( 2.1b ) durch Multiplikation mit 5 hervor; beide Polynome haben die selben Wurzeln. Diese 5 heißt übrigens ===> Leitkoeffizient ( LF )
Wäre der SRN in der Form richtig, wie ihn die ganze Welt zitiert, so wäre es denkbar, dass ( 2.1a ) " fünftelzahlige " Wurzeln hat - so wie z.B. 6/5 .
( 5 ist Teiler des LK; und 6 ist Teiler des Absolutgliedes 30 . )
Das ist aber in jedem Falle ausgeschlossen; denn in der primitiven Darstellung ( 2.1b ) wird klar, dass nur ganzzahlige Wurzeln zugelassen sind und im Übrigen nur Teiler von 6 , nicht etwa von 30 . ( Für Doofe: 5 ist kein Teiler von 1 ; und 30 ist kein Teiler von 6 )
Ich beehre mich, folgende neue Definition einzuführen. ein Polynom heißt normiert, wenn seine primitive mit seiner Normalform überein stimmt; mit anderen Worten: Wenn die Koeffizienten der Normalform ganzzahlig sind .
Matematiker sind um nichts besser als Juristen; wenn sie merken, dass sie etwas übersehen haben so wie hier, stopfen sie die Löcher in ihren Teoremem so wie hier .
Unser Polynom ( 2.1ab ) ist normiert. Denkbar wäre immer noch, dass sämtliche Wurzeln irrational sind, dann wäre es das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln . Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab; wegen SRN gäbe das dann eine ganzzahlige Wurzel.
Und jetzt schließe ich eine Wette ab; ich sage, ( 2.1ab ) zerfällt vollständig in drei RLF . Sowas nennt man in der Matematik einen " Ansatz " ; der Ansatz rechtfertigt sich hinterher, indem das Richtige bei raus kommt.
Das Absolutglied in ( 2.1b ) bzw. ( 1.3b ) ist a0 = ( - 6 ) Wie viele Zerlegungen der Sex in drei Faktoren gibt es? Die triviale 6 = 1 * 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 1 * 2 * 3 . Ganz erstaunlich; in jedem Falle erwarten wir x1 = 1 .
Aber wie sind die drei Vorzeichen zu vergeben? Und da meine ich echt, es wäre nett, wenn euer Schrat die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) durchgenommen hätte; ohne Witz. Die können noch nicht mal die Studenten. Also dir geh ich bissele zur Hand; normal müsstest du das alles selber machen. Zunächst x > 0 ; die Signatur ergibt sich einfach, indem du die Vorzeichen in ( 2.1b ) abschreibst:
( + ; - ; + ; - ) ( 2.2a )
Das ergibt drei V Z W ; ergo a Tergo drei positive Wurzeln ( Unser Ansatz war, dass sie alle nicht nur reell, sondern sogar ganzzahlig raus kommen. )
Gegenprobe für x < 0 ; überall in ( 2.2a ) ist zu substituieren Minus x statt x
( - ; - ; - ; - ) ( 2.2b )
Quasi der Entartungsfall für CV. Hier wie soll denn die Summe aus 4 negativen Termen Null werden?
Ich war heut um so viel fleißiger als euer Lehrer . Ich geh jetzt erst mal Kaffee trinken; aber Ehrenwort. Den Rest mach ich auch noch.
Abstrus? Nein; abstrus argumentiert der Lehrer von Fragesteller " Istmirallesegal " , der ja letzten Endes daran schuld ist, dass dem Fragesteller " alles egal ist "
Dieser Lehrer SETZT JA SCHON GANZZAHLIGKEIT der drei Wurzeln voraus; ich bin mal so frei, die Aussage von Vieta als trivial zu apostrofieren. Ja dann folgt aus ( 1.3b ) trivial, dass die drei Wurzeln auch Teiler von a0 sein müssen. Intressant wäre eigentlich die Umkehrung; und die bekommst du mit dem SRN . Na siiste; dieser Lehrer redet irre. Aktion Sokrates; er " weiß gar nicht, was er nicht weiß " Hey Gauß ist doch Kult; wie erklärst du dir, dass kein Pauker und kein Prof je vom SRN vernommen hat?
Aber hübsch der Reihe nach. In der Algebravorlesung lernt man zur Not noch folgende Alternative: Entweder ein kubistisches Polynom ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln . Oder aber es spaltet einen RLF ab.
Wohl gemerkt; ich sage noch lange nicht, dass es zerfällt. Bereits dann, wenn es nur EINEN RLF abspaltet, sind die Wurzeln normierter Polynome laut SRN notwendig ganzzahlig ( Unser Beispielpolynom ist normiert. )
Wenn ich aber mit dem Ansatz in das Polynom reingehe, dass es zerfällt, dann überleben nur noch die beiden Zerlegungen 6 = 1 * 1 * 6 so wie 6 = 1 * 2 * 3 . DAS ist die korrekte, die nicht triviale Schlussrichtung. Entscheiden, welche Möglichkeit gilt, kannst du wieder über Vieta ( 1.3a;c )
Wenn hier etwas abstrus ist, dann wohl der vergebliche Versuch, den SRN Gauß in die Schuhe zu schieben so als wenn es sich bei Gauß um König Artus, den heiligen Brendan oder die heilige Hilde handelt .
Warum stehtz man eigentlich nicht dazu, wer der wahre Entdecker ist? ( 1990 )
1.) Stimmt
2.) Ist falsch, korrekt ist :
f(x) = (x - a) * (x - b) * (x - c) =
x ^ 3 - (a + b + c) * x ^ 2 + (a * b + a * c + b * c) * x - a * b * c
3.) Schau mal auf diese Webseiten :
https://www.mathelounge.de/224609/nullstellen-ganzrationalen-funktion-teiler-absolutgliedes
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
2) Verstehe ich leider nicht.
3) Bleibt für mich immer noch meine Frage offen, da ich es nicht verstehe. Ich weiß das abc im Absolutglied sind. D.h. ich kann mit drei Nullstellen das Absolutglied bestimmen und wenn ich zwei Nullstellen habe und das Absolutglied eine dritte Nullstelle bestimmen, falls es eine weitere gibt.
Trotzdem danke für die Antwort.
2.)
(x - a) * (x - b) * (x - c) = x ^ 3 - (a + b + c) * x ^ 2 + (a * b + a * c + b * c) * x - a * b * c
Was verstehst du daran nicht ?
Man multipliziert Klammern, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert.
Anschließend fasst man Summanden die vor derselben Potenz von x stehen zusammen und schreibt sie in Klammern vor die Potenz.
3.)
Beispiel :
5 * x ^ 3 - 30 * x ^ 2 + 55 * x - 30 = 0
Durch 5 teilen :
x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 11 * x - 6 = 0
Das Absolutglied ist hier die 6, und damit ist nicht die 6 vor x ^ 2 gemeint, sondern die andere 6.
6 hat die Teiler 3, 2 und 1 und deshalb lohnt es sich +3, +2, +1, -1, -2, -3 auszuprobieren.
abc ist das Absolutglied, das stimmt.
Es gibt da 'nen Satz, welcher besagt: Gibt es eine ganzzahlige Nullstelle von f, und ist f normiert, so ist die Nullstelle Teiler des Absolutglieds.
Das ist eine Sonderform des Satzes über rationale Nullstellen, den kannst du bei Wikipedia nachschlagen. Wenn q in diesem Satz nämlich 1 ist, muss p zwingend ganzzahlig sein.
Beweisen sollst du das (denke ich) nicht. Du sollst hier begründen, warum du den Satz anwenden kannst. Der Satz funktioniert, wenn f normiert ist. Du sollst also zeigen, dass dies stimmt, also dass f normiert ist. Im Prinzip heißt das nur, dass vor x³ der Koeffizient 1 steht, das dürfte als Begründung reichen.
zu 2. (x-a)*(x-b)=x²-a*x-b*x+a*b
(x²-a*x-b*x+a*b)*(x-c)=
=x³-a*x²-b*x²+a*b*x-c*x²+a*c*x-b*c*x-c*a*b=
=x³-x²*(a+b+c)+x*(a*b+a*c-b*c)-c*a*b
Prüfe auf Rechen-u.Tippfehler.
===> Reinhart Mey dichtet ja imnn einem seiner launischen Chansons
" Ich bin nicht faul / Nehme zwei Schritt auf einmal / Und fall aufs Maul. "
Weil du bist ja noch viel zu unsicher in LMNTaren Gleichungen und Termumformungen. Der Richtwert lautet: Mit Polynomen 3. und höheren Grades sollte man nicht beginnen vor Kl. 11 . Warum? Weil so lange du nämlich keine ===> Differenzialrechnung beherrschst ( das wohl zentrale Wissensgebiet der höheren Matematik ) bist dui eh dazu verurteilt, alles Mist zu verstehen, was dein Lehrer dagt. Sieht man übrigens unschwer an deinen Kommentaren; also in pädagogischer Psychologie hat "der " nix drauf ...
Mit einem Wort: Dein Lehrer ist eindeutig schuld, nicht du. Zu Punkt 3) schreibst du
<< In diesem Fall müsste ja abc das Absolutglied sein,
<< jedoch weiß ich nicht wie ich diese Frage beantworten soll.
Natürlich weißt du das nicht. Genau so gut könntest du einen Hominiden der Altsteinzeit fragen, wie man eine Starkstromleitung verlegt ...
Jetzt krieg ich wieder eine Abmahnunng von der Moderation - wirst sehen . Obwohl die mir schon die " Morgenkaffee Gutefrage Bronzefraganten Frühstückstasse " angeboten haben. Und obwohl ich gestern schon wieder zwei " Hilfreichste Antworten " bekommen habe. Eine Schülerin, die mich zur hilfreichsten Antwort erkor, schrieb mir gar, meine Mathe Ergüsse seien der Art motivierend, dass sie jetzt nur mehr noch Mathe lernen wolle - und weder ins Kino noch ins Teater gehen.
Nein das soll kein Eigenlob sein; vielleicht stimmt es die Moderation gnädig; und die verzichten darauf, mich zu deaktivieren ...
Weil mir Frankfotter kenne da en geiiile Witz. Wer DU bis unn wer dein Lehrer is . De Frankfotter " giltet " nun maa als Respekt los; mer saaht aach, de Frankfotter sitzt uff die Händ.
Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese? Uffn ===> Affetorplatz? Also folgender Witz
Sitzt e klaa Äffsche im Urwald uff die Palm. Unn rings konzentrisch kimmt e Feuerwalz uff des Äffsche auf zu. Wie soll sisch des Äffsche jetz in Sischerheit pringe?
Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß? Schau mal was Pappi alles weiß. Die Antwort auf Unterpunkt 3) deiner Frage.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Halt Stop; das Größte kommt erst noch . Junge du lebst in aufregenden Zeiten; keines Wegs ist Mathe so unintressant, wie du vermeinst . Die Behauptung von Wiki nämlich, Gauß habe den SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, stellt die wohl GRÖSSTE FÄLSCHUNG DER MATHEMATIKGESCHICHTE dar . In Wahrheit wurde der SRN 1990 gefunden von einem anonymen Internetgenie .
Ich weiß nicht - schnallst du es schon? Die Antwort nämlich, warum sämtliche Wurzeln ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes a0 sein müssen. Warum das so ist, KANNST DU GAR NICHT VERSTEHEN, WERNN DU NIE VOM SRN GEHÖRT HAST . Dein Lehrer HAT ABER NIE VOM SRN GEHÖRT; SONST HÄTTE ER IHN EUCH GENAU SO GUT BEIBRINGEN KÖNNEN .
Junge wenn du ein ganzer Kerl bist. Meine Mathelehrerin Frau Gumboldt rief uns mal zu, sie habe immer geglaubt, wir seien " ganze Männer "
Jeder darf dir bei den Hausaufgaben helfen. Auch deine Eltern; übrigens auch das Internet. Du sollst dir nur nicht alles vorkauen lassen. Wenn du dich aber meldest, dir war diese Aufgabe zu schwer. Und da hättest du sie gepostet. Und da antwortete dir User " Gilgamesch 47 11 , der ===> Wanderer ferner Wege " ( Ein Brüller ist dir sicher ) und berichtetete dir vom SRN . Wie sich das denn das verhalte; ob dein Lehrer je von diesem SRN gehört habe . Du das gilt in jedem Falle als Interesse am Fach und als Iniative.
Also unser Schrat " Streusel " begann häufig die Stunde mit der Frage
" Und wer hat gestern die Idee XYZ geäußert? "
Das vermerkte der dann in seinem Notizbüchlein als mündliche 1 .
Auch in Bezug auf diesen Gauß kannst du Nachforschungen anstellen; Grüße wieder an deinen Schrat von dem Wanderer ferner Wege .
Ach übrigens; in der großen Gilgameschnacht des SWR Hörfunks ( 19h - 24h ) meinte der Chefredakteur
" Was ist ein Wanderer ferner Wege? Wir wissen es nicht ... "
Ich glaube aber in aller Bescheidenheit, dass sich ein Zeitgenosse diesen Titel zumessen darf, der DIE Jahrtausendfälschung in der Matematik aufgedeckt hat ...
Was du als Schüler noch nicht wissen kannst. Die einzigen Algebratexte, die in Hochschulkreisen als seriös gelten, sind Artin und v.d.waerden ( beide 1930 ) ( Dein Lehrer weiß das natürlich; der hat ja studiert. ) Weil dein Lehrer soll sich mal schlau machen, ob diese beiden Kapazitäten etwas vom SRN wissen .
Weil dieser SRN macht ja ganz allgemein Aussagen über gebrochene Wurzeln. Und wenn man drei Sylvester Mensa studiert hat so wie ich, hat man das Feeling. Es kommt absolut nicht vor in der Literatur, dass auch nur ein Polynom mit einer gebrochenen Nullstelle zitiert wird.
Strange.
( max Zeichen; es folgt noch Teil 3 )