Frage von Exitor, 51

Warum kann bei Linearfaktorzerlegung durch Polynomdivision ein Vorfaktor übrig bleiben (Siehe Beschreibung für Details und Bsp.)?

Die folgende Funktion soll in Linearfaktoren aufgespalten werden: f(z) = 2z^3 + 4z^2 + 42z - 116 Durch raten kome ich auf z = 2 als Nullstelle, danach habe ich eine Polynomdivision durchgeführt und danach die Mitternachtsformel verwendet. Bei mir kommt dann folgendes raus: f(z)= (z - 2) (z + 2 - 5i) (z + 2 + 5i) Laut Lösung fehlt aber noch ein Vorfaktor von 2 also: f(z)= 2 (z - 2) (z + 2 - 5i) (z + 2 + 5i) Die Frage ist nun, woher kommen die 2? Ich habe gedacht bei Polynomdivision und Mitternachtsformel geht nichts verloren. Und wie kommt man rechnerisch auf die 2? In der Lösung steht leider nur der Rechenweg für den Rest.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

da du hier nicht die Nullstellen suchst, sondern die Nullstellen-Berechnung nur als Hilfe für die Linearfaktorzerlegung benutzt,

musst du nach der Polynomdiv. den Term 2x²+8x+58 zerlegen zu:

2(x²+4x+29) und mit der Klammer pq-Formel machen;

dadurch bleibt die 2 als Vorfaktor erhalten;

2(x-2)(....)(....)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Diesen Faktor darfst du nie unterschlagen. Er ergibt sich ganz automatisch bei der Aufspaltung und besagt ja etwas über die Streckung der Kurve.

Bei der Ermittlung der Nullstellen kann man ihn aber herausdividieren (und nur da!), weil die Nullstellen immer dieselben bleiben, egal mit welchem Faktor du die linke Seite multiplizierst. Denn rechts steht Null.
Du musst den Faktor natürlich ausklammern und dann dividieren, sonst vertust du dich womöglich.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Du benötigst die Polynomdivision.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

https://www.youtube.com/results?search\_query=polynomdivision+online

Dividiert wird durch den Linearfaktor (z - 2) weil eine Nullstelle bei x = 2 liegt.

(2 * z ^ 3 + 4 * z ^ 2 + 42 * z - 116) / (z - 2) = 2 * z ^ 2 + 8 * z + 58

2 * z ^ 2 + 8 * z + 58 = 0 | : 2

z ^ 2 + 4 * z + 29 = 0

Die pq-Formel wird auf die Form z ^ 2 + p * z + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = 4

q = 29

p / 2 = 2

(p / 2) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4

z _ 1, 2 = - (2) - / + √(4 – 29)

z _ 1, 2 = - 2 - / + √(-25)

Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ, deshalb gibt es in den reellen Zahlen keine weiteren Nullstellen, aber in den komplexen Zahlen -->

z _ 1 = -2 - 5 * i

z _ 2 = -2 + 5 * i

i = imaginäre Einheit

Antwort
von iokii, 27

Die 2 ist einfach die Zahl vor dem höchsten Exponenten.

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