Was ist die Ableitung von xe^(-x)?
Ich bekomm da e^(-x) × (-x+1) raus... und als Ableitung davon krieg ich e^(-x) raus; was hab ich falsch gemacht?
3 Antworten
Die 1. Ableitung ist doch richtig. In der zweiten hast du vermutlich nicht die innere Ableitung berücksichtigt oder falsch mulripliziert.
f(x) = x * e^(-x)
f '(x) = -e^(-x) * (x - 1) du hast das Minus in der Klammer
f ''(x) = -e^(-x) * (x - 2)
Die Systematik geht in den nächsten Ableitungen weiter.
Mit dem Minus ist es wirklich nicht so einfach. Ich hatte mich bei der zweiten auch erst vertippt.
Bei der ersten aber nicht.
Deine Lösung: e^(-x) × (-x+1)
Wenn du das Minus aus der Klammer herausziehst, erscheint es vorn, und jedes Vorzeichen in der Klammer wird umgedreht.
-e^(-x) × (x-1)
Dies Format ist besser, weil es in den nächsten Ableitungen weiter fortgeführt wird.
f ''' (x^) = - e^(-x) * (x - 3)
Wegen der inneren Ableitung dreht sich das Vorzeichen jedesmal um.
Korrektur: Das Minus ganz vorn bei der 2. Ableitung muss weg!
Die Ableitungen alternieren.
So herum geht es auch. Man muss nur aufpassen, wie herum man die Differenz in der Klammer anordnet.
Hier muss die Produktregel angewendet werden,weil die beiden x nicht zusammengefasst werden können.
aus den Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentationsregeln"
(u *v)´=u´ * v +u *v´
u=x abgeleitet u´=1 und v=e^(-x) abgeleitet v´= - 1 * e^(-x) eingesetzt
y´=f´(x)=1 *e^(-x) + x *(-1) * e^(-x)=e^(-x) - x *e^(-x)=e^(-x) * (1 -x)
Ableitung von y=e^(-x) mit der Kettenregel
y=e^z abgeleitet y´=dy/dz= e^z und z= - x abgeleitet z´=dz/dx=- 1
y´=f´(x)= dy/dx=dy/dz *dz/dx=e^z * - 1= - 1 * e^(-x)
HINWEIS : Hier sieht man schön,das sich das "dz" herauskürzt !
y´=dy/dx= dy/dz * dz/dx Kettenregel,siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"
Das lässt sich auf folgende Form verallgemeinern -->
f(x) = u(x) * e ^ (v(x))
u(x) und v(x) sind Funktionen
Die 1-te Ableitung lautet dann -->
f´(x) = (u´(x) + u(x) * v´(x)) * e ^ (v(x))
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Anwendung auf dein Beispiel -->
f(x) = x * e ^ (-x)
u(x) = x
v(x) = -x
u´(x) = 1
v´(x) = -1
f´(x) = (1 + x * -1) * e ^ (-x)
Das kann man noch umschreiben zu -->
f(x) = (1 - x) * e ^ (-x)
f´(x) = (1 - x) * e ^ (-x) sollte es natürlich heißen. Habe das ´ vergessen.
Du meinst meine erste Ableitung ist richtig aber dann fügst dann noch ein - vors e hinzu, ich bin verwirrt :/ Aber ansonsten danke Digga