Warum steigt die Spannung U, wenn der Widerstand R steigt?

Warum steigt die Spannung U, wenn der Widerstand R steigt?

Eine einfache, Antwort wäre: »Um die Stromstärke I konstant zu halten.« 

Diese Antwort greift natürlich zu kurz. In einem einfachen Stromkreis ist im Regelfall U die Ursache, R - respektive die Leitfähigkeit 1/R = σ - die Vermittlung und I die Wirkung.

Eine Änderung von R bzw. σ ändert in einem solchen Fall nicht die Ursache, sondern die Wirkung, d.h. I. Die steht in einem einfachen Stromkreis in umgekehrt proportionalem Verhältnis zu R und in direktem zu σ.

Das ist freilich eine Antwort, die - wie schon die Frage - speziell auf eine ganz bestimmte Situation zugeschnitten und phänomenologisch und daher unbefriedigend ist. 

Wenn wir die Formelzeichen U, I und R bzw. σ so verwenden wie oben, machen wir uns meistens nicht klar, was sie eigentlich bedeuten.

Manche Menschen offenbaren eine geradezu erschreckend fundamentale Unwissenheit, und das im Rahmen von Wissenssendungen! So wurde in »Galileo« erklärt, wieso Vögel sich unbeschadet auf Hochspannungsleitungen setzen können, obwohl dort »380000 Volt durch fließen«.

Selbst Experten reden unpräzise und sprechen davon, dass das Entscheidende nicht die Spannung selbst, sondern die Spannungsdifferenz sei.

Dabei ist die Spannung selbst eine Differenz, nämlich die zwischen zwei elektrischen Potentialen. Das elektrische Potential wird meist als V oder auch als ϕ bezeichnet. Ich verwende Letzteres, um nicht für das Potential und seine Maßeinheit (die ist natürlich auch das Volt) denselben Buchstaben zu verwenden.

Zwischen zwei Orten x₁ und x₂ (der Einfachheit halber 1D) mit

(1.1) φ₁ = φ(x₁), φ₂ = φ(x₂)

herrscht die Spannung

(1.2) U(x₁,x₂) = Δϕ = ϕ₂ – ϕ₁

und die - durchschnittliche - (eindimensionale) elektrische Feldstärke

(2.1) E(x₁,) = Δϕ/Δx = (ϕ₂ – ϕ₁)/(x₂ – x₁) = U/(x₂ – x₁).

Sie ist das - durchschnittliche - Potentialgefälle. Guckt man genauer hin, betrachtet man also die Potentialdifferenzen zwischen »benachbarten« Orten zwischen x₁ und x₂, so erhält man (noch immer in 1D)

(2.2) E(x) = –dϕ/dx    ⇒    U = –∫_[x₁]^{x₂} dx E(x).

In 3D spricht man auch davon, dass die Feldstärke der negative Gradient des Potentials ist. Das ist ein Vektor, dessen Betrag das Gefälle und der in die Richtung die des Gefälles zeigt. 

Tatsächlich kann man sich das Ganze tatsächlich als Höhe (Potential), Höhendifferenz (Spannung) und Gefälle (Feldstärke) veranschaulichen, muss sich dabei aber klar machen, dass hier eine andere Situation vorliegt als im Gravitationsfeld:

Es gibt hier anziehende und abstoßende Kräfte und negative Ladungsträger eine Spannung sozusagen »herauffallen«, am ehesten noch vergleichbar mit Luftblasen in einer Flüssigkeit unter einer Schräge.

Ansonsten kann man das schon vergleichen: Ein geladener Körper wird in einem E-Feld beständig beschleunigt, wobei sich die potentielle Energie in kinetische Energie umwandelt wie im freien Fall - falls nicht Gegenkräfte das verhindern. Die Elektronenröhre ist ein gutes Beispiel. In diesem Fall ist etwa die Stromstärke keine wirklich adäquate Beschreibung des Geschehens.

Wie es aber neben dem freien Fall auch so etwas wie Strömung gibt, etwa in Flüssen und Bächen, die ebenfalls von der Gravitation bzw. der von ihr getriggerten Hangabtriebskraft angetrieben werden, gibt es Vergleichbares auch für die Elektrizität, nämlich in einem metallischen Leiter.

Dem Wasser in einem Fluss entsprechen dabei die in jedem Metallverband befindlichen freien Elektronen, die sozusagen überall im Leiter schon da sind.

Sie können sich zwischen positiv geladenen Atomrümpfen weitgehend frei, aber nicht ganz ungehindert bewegen. 

Durch eine elektrische Feldstärke E werden sie beschleunigt, aber zugleich durch eine Art Reibung (den der spezifischen Widerstand ρ) gebremst. So stellt sich eine Gleichgewichts-Geschwindigkeit Δs/Δt ein, ähnlich der mittleren Strömungsgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss.

Diese in Verbindung mit der Ladungsmenge pro Δq Leiterstrecke Δs ergibt dann die Stromstärke

(3) I = (Δq/Δs)·(Δs/Δt) = Δq/Δt,

wobei dies bedeutet, dass in der Zeitspanne Δt die Ladung Δq durch den Leiterquerschnitt mit der Querschnittsfläche A fließt.

Natürlich ist Δq/Δs ~ A, wodurch klar ist, dass R ~ 1/A sein muss. Ebenso anschaulich klar ist, dass R ~ L (Gesamtlänge des Leiters) sein muss. Je länger der Leiter bei gleicher Spannung, desto geringer das Gefälle E und damit auch die Gleichgewichts-Strömung.

Im Endeffekt ergibt sich

(4) R = ρ·L/A.

Dass es sich bei R um eine Systemkonstante handelt, wird gern als as »Ohmsche Gesetz« bezeichnet, es ist jedoch  kein Gesetz im Range etwa des Gravitationsgesetzes oder, um im Bereich des Elektromagnetismus zu bleiben, die Maxwell'schen Gleichungen. Die Bezeichnung »Ohmsche Regel« wäre besser.

Das gilt so allgemein nicht.

Mit größerem Widerstandswert braucht man mehr Kraft, damit ein bestimmter Strom fließt.

Wenn der Stromkreis nur aus der Spannungsquelle und diesem Widerstand besteht, dann steigt die Spannung natürlich nicht, sondern statt dessen sinkt der Strom, der durch den Widerstand fließt.

Wenn aber mehrere Widerstände betiligt sind, dann verschieben sich die Teilspannungen.. Wenn dann nur ein Widerstand in einer Widerstandskette vergrößert wird, dann steigt der Gesamtwiderstan und es fließt insgesamt ein kleinerer Strom. Aber dieser kleinere Strom kann dann an dem betrachteten Widerstand einen etwas größeren Spannungsabfall bewirken, denn beim kleineren Strom fallen ja an den anderen Widerständen (die konstant blieben) kleinere Teilspannungen ab.,

Warum sollte in welcher Konstellation die Spannung mit dem Widerstand steigen und warum? Das ergibt so keinen Sinn! Siehe Wiki "Ohmsches Gesetz". U = I/R. Daraus folgt z.B.:

Wenn Du bei der Vergrößerung eines Widerstandes die Stromstärke konstant halten willst, dann musst Du eine höhere Spannung anlegen.

In welcher Anwendung?

U steigt nur, wenn ein Strom fliesst, der konstant bleibt.
Das passiert sonst nie spontan.

Du müsstest konkret dein Problem formulieren, denn die Antwort ergibt sich direkt aus dem Ohm'schen Gesetz:

U = R* I    (Proportionalität)

U steigt proportional zu R, wenn I nicht gleich null ist.

Das passiert nur in der Reihenschaltung von Widerständen (Spannungsteiler). Die angelegte Spannung teilt sich auf, und zwar im proportionalen Verhältnis zu den Widerständen.

Erhöht man einen der Widerstände, so erhöht sich auch der Gesamtwiderstand - es fließt weniger Strom. Das Verhältnis des neuen Widerstands zu den anderen Widerständen ist größer als vorher, somit ist auch die Spannung an diesem neuen Widerstand proportional höher.

Beispiel: 10 V an 4 Widerständen à 10 Ω.

• der Gesamtwiderstand beträgt 40 Ω (R1 + R2 + R3 + R4), der Strom beträgt      10 V : 40 Ω = 250 mA
• die Spannung an R1 bis R4 beträgt jeweils 10 V : 40 Ω · 10 Ω = 2,5 V

Erhöht man jetzt R4 auf 20 Ω, so sinkt der Strom auf 10 V : 50
Ω = 200 mA.

• der Gesamtwiderstand beträgt 50 Ω
• die Spannung an R4 beträgt  10 V : 50 Ω · 20 Ω = 4 V
• die Spannung an R1 bis R3 beträgt jeweils 10 V : 50 Ω · 10 Ω = 2 V