Wann dreht sich Ungleichzeichen um?
Wenn man eine Ungleichung hat gibt es doch verschiede Fälle bei denen sich das zeichen umdreht. Könnte mir jemand diese nennen? Bin gerade etwas verwirrt, dreht es sich immer um wenn man durch etwas teilt bzw. etwas multipliziert.. oder nur bei negativen zahlen?
4 Antworten
Ich glaube ich mache die ganze Sache einfach mal als etwas abstrakter damit du das Konzept besser fassen kannst.
Stell dir vor du hast eine Ungleichung p ≤ q, wobei p und q Ausdrücke einer geordneten Menge A sind. Sagen wir für Schulzwecke einfach mal, dass p und q Funktionen von R nach R sind, also Funktionen sind, die von Variablen x abhängen und reelle Werte als Zahlen annehmen.
Dann bedeutet für unseren Fall, dass p ≤ q, also dass für alle x, die man einsetzt, p(x) ≤ q(x). Da wir glücklicherweise R betrachten, kannst du dir jetzt das Prinzip von monoton steigenden/fallenden Funktionen bildlich vorstellen. Das sind Funktionen für die gilt, dass [steigend] x1 ≤ x2 <-> f(x1) ≤ f(x2), und [fallend] x1 ≤ x2 <-> f(x2) ≤ f(x1). Da unsere Ausdrücke p und q auch reelle Werte annehmen, können wir diese einsetzen, um Ausdrücke umzuformen. Bedeutet nur, dass wir auf unsere Ungleichung monotone Funktionen (loslassen), um sie gut umzuformen. Beispiel: Wir haben den Ausdrück 2x ≤ 4, und wollen auf x auflösen. Unsere Funktion f(x) = x/2 ist leicht nachweisbar monoton steigend, also wenden wir die Funktion an und kommen auf f(2x) = x ≤ f(4) = 2. Zweites Beispiel: -x ≤ 0, unsere Funktion f(x) = -x ist monoton fallend, also folgt aus -x ≤ 0 -> 0 ≤ x.
Wenn du dir also nicht sicher bist, ob sich bei irgendwelchen Umformungen das Zeichen umdreht, mal dir die Funktion, die du auf beiden Seiten anwendest, auf ein Blatt Papier und schau, ob sie monoton steigend oder fallend ist. Wenn sie keins von beidem ist, musst du für verschiedene Definitionsbereiche Fallunterscheidungen machen.
LG
Vllt versteh ich nicht ganz was du meinst, aber ein Ungleichzeichen (also das ≠) dreht sich niemals um, wie sollte es auch... das ist so als würdest du Fragen wann sich ein Gleichheitszeichen (also =) umdreht, macht doch eigentlich auch keinen Sinn.
Aber du meinst vermutlich sowas: 5 > 3 (1) oder 4x < 2 (2). Dabei dreht sich das Zeichen immer um, wenn du mit einem insgesamt negativen Wert multiplizierst, also z.B: -1 oder -2 usw. (die Multiplikation schließt dabei die Division ein, denn x/n = n * 1/x, also x/2 = x*1/2 = 0,5x):
(1) * (-1) ==> -5 < -3, stimmt
(2) : (-2) bzw- (2) * (-1/2) ==> -2x > -1
Ich hoffe das beantwortet in etwa deine Frage...
Ich kenne nur die Möglichkeit, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren bzw. durch eine negative Zahl zu dividieren. Ich kann mir vorstellen, dass es noch ein paar andere Möglichkeiten gibt, mehr brauchst du aber in der Schule nicht.
Wenn man auf beiden Seiten zum Kehrwert übergeht: 3 < 4 → ⅓ > ¼