Umkehrung des Ungleichheitszeichen?
Sehr geehrte Mathematiker und Mathematikerinnen,
es ist wahrscheinlich eine weitverbreitete Kenntnis, dass sich das Zeichen einer Ungleichung umdreht, wenn man mit negativen Zahlen multipliziert, oder dividiert.
Ein einfaches Beispiel:
Jetzt meine Frage:
Hier ist definiert, dass -1<0 und deswegen kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Gilt das wirklich immer? Ich rede von diesem nachfolgenden "Beweis" (in Anführungszeichen, weil ich nicht weiß, ob es stimmt)
Beweise: Man kann imaginäre Zahlen z1:a+bi und z2:c+di nicht miteinander vergleichen, sprich man kann nicht sagen z1>z2, oder z1<z2.
Beweis per Widerspruch (Wenn man ein Gegenbeispiel findet, dann ist die These bewiesen) -> Vergleichen wir doch i und 0
Es gilt zu zeigen:
i ist weder größer, noch gleich, noch kleiner 0:
i>0:
i²=-1 (per Definition von i) und per Axiom der Anordnung gilt a²>0, also gilt auch: -1>0
Rechnen wir jetzt:
i*(-1)=-i, gilt wegen den Axiomen der Anordnung außerdem, dass wenn a,b>0 -> ab>0
-i>0, aber |*(-1)
i<0 -> Widerspruch!
Die Sache ist jetzt: Der Beweis ist bís dahin verständlich (für i<0 folgt er fast analog, i!=0 ist leicht zu zeigen) nur meine Frage: Wenn wir annehmen, dass -1>0, dann aber mit -1 multiplizieren, warum kehrt dies das Vorzeichen? -1 ist doch in dem Fall größer 0.
4 Antworten
Wenn wir annehmen, dass -1>0
Es ergibt aber keinen Sinn, anzunehmen, dass -1>0 gilt, da dann die Anordnungsaxiome nicht mehr gelten.
Denn wenn -1>0 gilt, dann gilt auch (-1)*(-1)>0*(-1) (Abgeschlossenheit bzgl Multiplikation)
Somit also auch 1>0
Aus der Abgeschlossenheit für Addition folgt dann:
0<-1+1
Also 0<0
Und das widerspricht der Trichometrie der Positivität (da entweder a>0, a=0 oder a<0 gilt. Hier folgt aber 0=0 und 0<0 was den widerspricht).
Somit kann -1>0 mit den Axiomen, worauf die Reellen Zahlen aufbauen nicht wahr sein. -1<0 muss also gelten.
Heißt das, ich habe schon gezeigt, dass i>0 nicht gelten kann, weil a²>0 verletzt wird?
Genau, da eben -1>0 falsch ist.
dass 0<-1 bis lang kein Widerspruch sei und man den Rest machen muss um zu schlussfolgern, dass ein Widerspruch aus den Axiomen der Anordnung folgt.
Kannst du vielleicht das Video verlinken?
Tut mir leid, dass ich so spät antworte! Ich verlinke es dir gerne. Sagst du mir bitte, was er damit meinte? Hier: https://youtu.be/zBHa3bn2W8U
Ganz einfach: das was er sagt ist kompletter Unsinn.
1. Man kann (siehe meine Antwort) mit den Anordnungsaxiome schon zeigen, dass -1>0 nicht gelten kann.
2. Er multipliziert erst -1 mit i und sagt, dass dadurch das Vorzeichen nicht gedreht wird, da beides >0 ist.
Nun multipliziert er -i und -1 aber da ändert sich plötzlich das Vorzeichen "weil das eine Rechenregel" ist. Das ist aber Schwachsinn, da er davor schon mit -1 multipliziert hat und das Vorzeichen sich nicht geändert hat.
Nur nebenbei:
Was ist das bitte für ein YouTube Kanal?
Seine Themen springen zwischen Mathe und Schwurbelzeug (zum Beispiel etwas zu Reptiloiden)
Und die Kanäle die verlinkt sind, kommen fast alle aus der rechten Ecke (z.b AFD)
Wusste nicht, dass es eine Pipeline von Mathe nach rechts gibt lol
Das hab ich nicht gesehen. Was ein Idiot. Danke, dass du mich aufgeklärt hast. Für mich als (noch) Schüler der Mathematik, ich studiere noch nicht, ist es im Selbststudium immer schwer herauszufinden, was ich lernen sollte, und was wirklich richtig ist.
Ein paar Tipps:
Du kannst diesen Pfeil "<=>" in LaTeX mit "\Leftrightarrow" schreiben:
Zudem schreibst du den Rechenschritt nicht vor der Äquivalenzpfeil, sondern separat oder über / unter den Äquivalenzpfeil.
Du kannst zudem sagen, dass etwas größer oder kleiner ist mit "\lessgtr", also "ist kleiner oder größer als", oder "\gtrless", also "ist größer oder kleiner als" (Wikipedia-Link).
Hier ist definiert, dass -1<0 und deswegen kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Gilt das wirklich immer? Gilt das wirklich immer?
Nein. Z.B. bei vielen Ungleichungen in denen keine reellen Zahlen vorliegen, oder dich in einen anderen Axiom-System befindest gilt das nicht mehr.
Man kann imaginäre Zahlen z1:a+bi und z2:c+di nicht miteinander vergleichen, sprich man kann nicht sagen z1 > z2, oder z1 < z2.
Man kann komplexe und imaginäre Zahlen vergleichen. Klassischer Weise vergleicht man den Betrag der komplexen Zahlen und ihr Argument miteinander. Alternativ werden auch oft einfach nur die beiden Imaginärteile und die beiden Realteile miteinander verglichen. Du kannst komplexe nichtreelle Zahlen nur nicht nach ihrer Größe anordnen.
Den Rest hat schon Jangler gesagt.
Gilt das wirklich immer?
Ja, das gilt immer
Es gilt immer, wenn es sich um einen angeordneten Körper handelt. Du hast mit dem Widerspruch also gezeigt, dass die komplexen Zahlen das Anordnungsaxiom nicht erfüllen. In den reellen Zahlen geht es allerdings immer, da sie genau so definiert sind.
Zu deinem Beweis:
Das ergibt für mich auch keinen Sinn. Ab diesen Schritt kann man allerdings i addieren und erhält das gleiche Ergebnis.
Heißt das, ich habe schon gezeigt, dass i>0 nicht gelten kann, weil a²>0 verletzt wird? In einem Video zu dem Beweis wurde gesagt, dass 0<-1 bis lang kein Widerspruch sei und man den Rest machen muss um zu schlussfolgern, dass ein Widerspruch aus den Axiomen der Anordnung folgt.