Ungleichungen, Fallunterscheidung bitte Hilfe?
Ich behandel für eine Schularbeit gerade in Mathematik das Thema Ungleichungen... Nun bin ich bei Fallunterscheidungen, ich habe aber nur so ca. 50% verstanden. Könntet ihr mir bitte es so einfach wie möglich erklären und vor allem WANN GENAU ist eine Fallunterscheidung UNBEDINGT notwendig? Vielen Dank! Lg Computer01
3 Antworten
Fallunterscheidungen können sinnvoll sein bei vielen Arten von Ungleichungen. Ich nenne dir hier mal die üblichsten drei.
BrücheBei einer Ungleichung a/b > c/d musst du über Kreuz multiplizieren, um auf lineare Glieder zu multiplizieren. Da du aber die konkreten Werte für b und d nicht hast, kann es sein, dass du die Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst (z. B. wenn b < 0) und dann das Ungleichheitszeichen umdrehen musst.
Da du aber nicht genau weißt, ob b oder d negativ sind (oder sogar b und d), musst du hier eine Fallunterscheidung treffen. Was, wenn b negativ und d positiv ist? Was, wenn d negativ und b positiv ist? Was, wenn b und d negativ sind? Was, wenn b und d positiv sind?
ProdukteBei einer Ungleichung a * b ≤ 0 musst du wieder die Vorzeichen der beiden Variablen unterscheiden. a * b ist kleiner als Null, wenn eine der beiden Variablen positiv und eine negativ ist, wenn beide Variablen negativ oder beide Variablen positiv sind, ist der Wert größer als Null, wenn eine der beiden Variablen null ist, ist der Wert gleich Null.
Also musst du hier (mit Kenntnis des Satzes des Nullprodukts) unterscheiden, wann dieses Produkt größer/kleiner als oder gleich Null wird.
BetragsungleichungenBei einer Ungleichung |x + 2| < 5 musst du mittels einer Fallunterscheidung feststellen, was die Betragsstriche machen, denn falls x + 2 positiv oder Null ist, verändern sie nichts, wenn x + 2 allerdings negativ ist, drehen sie das Vorzeichen um, x + 2 wird also zu -(x + 2).
Du musst also unterscheiden: Wann wird x + 2 < 0? Wann wird x + 2 = 0? Wann wird x + 2 > 0? Was passiert in den drei Fällen mit dem Betragsteil?
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Das sind also Beispielfälle, in denen eine Fallunterscheidung definitiv sinnvoll und zur einfachen Lösung der Ungleichung notwendig ist.
Prinzipiell musst du immer überlegen: Gibt es verschiedene Lösungen bzw. Ungleichungen, die abhängig vom Vorzeichen einer Variable sind? Dann solltest du meistens eine Fallunterscheidung machen. In den oben betrachteten Fällen von Multiplikationen mit einer ggf. negativen Zahl, einem ggf. negativen Produkt und einem durch die Betragsstriche abhängig vom Vorzeichen verändertem Term ist das beispielsweise der Fall.
LG Willibergi
Nicht vergessen: Wenn du die Äquivalenzumformung *a oder /a machst, musst du vorher den Fall a=0 seperat behandeln. Das ist auch wieder eine Fallunterscheidung.
Meine Antwort ist ganz allgemein. Ziel muss es immer sein, in möglichst elementaren Beweisschritten die Behauptung IN ALLEN FÄLLEN einzusehen. Eine berühmte Fallunterscheidung ( FU ) ist ja, ob in einer Gleichung bestimmte Koeffizienten null werden oder nicht.
Abschreckende Beispiele für FU sind die ===> Vier-Farben-Vermutung oder berühmte Existenzsätze aus der ===> Gruppenteorie. Gestatte, dass ich den Begriff der FU persifliere; an sich ließe sich jeder Lehrsatz durch FU beweisen. Das Problem: Die meisten Teoreme machen Aussagen über eine unendliche Menge; und unendlich viele Beispiele kannst du nicht durch probieren ...
Z.B. der 4-Farbenbeweis gilt als problematisch, weil da ein Knilch ein Programm über FU geschrieben hat, welche Fälle untersucht werden müssen. Ein Mensch kann diesen Beweis gar nicht mehr nach vollziehen; mein Kollege hatte über FU übrigens die folgende Meinung:
" Hr. Doktor; Verwenden Sie nie eine If-Anweisung; die greift in die Logik ein ... "
Aus dem ZDF Studienführer ( und von meinem Chef ) weiß ich aber, dass du mit Studienfach Mathe nur die aller besten Berufsaussichten hast - weil die Personaler nämlich wissen, dass du FU drauf hast ...
Der Chef sagt dir, du sollst ein Programm schreiben, das lange dünne Schrauben in die Fertigung schickt und kurze dicke ins Lager. Mehr hat er sich nicht überlegt. Der bedankt sich auch, wenn du mit jedem Mist zu ihm kommst.
Und? Was machst du mit langen dicken und kurzen dünnen?
Verstehst du; denkökonomisch wenn du vorgehst. Dann schätzt du jede Ungleichung so ab, dass du möglichst wenig FU hast. Ich bin auf meine Weise ja auch genial und hab mir neue Formeln überlegt; niemand hindert dich daran, mal was Neues auszuprobieren.
Es gibt sooo viele Möglichkeiten, in denen eine Fallunterscheidung notwendig/sinnvoll ist, da wäre es schon hilfreich, wenn Du etwas konkreter wirst. Z.B. welche Art von Ungleichung betrachtest Du?
Kommen da auch noch Beträge vor?
Sind Bruchterme vorhanden?
Kommen Produkte vor?
kann man nicht genau sagen, wann eine sinnvoll wäre? ich muss z.B. auch manchmal bei Beispielen entscheiden ob eine Fallunterscheidung notwendig ist und anschließend die Lösungsmenge angeben