Parabelförmiger Torbogen
Hallo,
ich habe hierbei so meine Probleme.
Gegeben ist eine parabelförmiger Torbogen mit einer Höhe von 2m und einer Bodenbreite von 2m.
zu Berechnen sind folgende Aufgaben:
1) Bestimme für die Funktionsgleichung f(x) des Bogens in abc-Schreibeweise
2) Geben Sie die Linearfaktorschreibweise von F(x) an.
3) Geben den scheitelpunkt von F(x) an.
4) Wie breit ist bei diesem Torbogen der Bereich, bei dem die Durchgangshöhe mindestens 1m beträgt und wie breit bei 1,80m?
5) Gesucht: Höhe H des Bogens bei 30cm abstand vom Rand.
Parabeln waren nie so meine Stärke und ich komm einfach nicht auf den lösungsansatz. Wäre nett wenn mir jmd. dabei helfen könnte.
Danke im Vorraus.
4 Antworten
Praktischerweise legst du den Scheitel des Torbogens auf die y-Achse deines Koordinatensystems (und machst eine Skizze.) Die Parabel ist dann nach unten geöffnet, denn du willst drunter durchfahren. Sie ist symmetrisch zur y-Achse. Der Abstand der Nullstellen ist die Torbreite.
Du kannst die Koordinaten des Scheitels aus deiner Skizze ablesen (Lösung von 3)) , ebenso die Koordinaten der Nullstellen?
Die Scheitelform jeder Parabel ist
y = a(x -d)² +e
Zwei der Variablen a, d, e kennst du schon, die dritte bekommst du durch Einsetzen einer der Nullstellen.
Auflösen der Klammer und Zusammenfassen gibt dir die Form
y = ax² +bx +c (Lösung von 1)).
Die Linearfaktorrschreibweise hat die Form
y = a(x -n1)(x -n2),
wobei n1, n2 die x-Werte der Nullstellen sind (Lösung von 2)).
In 4) sind die Durchgangshöhen y-Werte der Parabel; du löst jeweils nach x auf.
iI 5) kannst du den Abstand rechts von der linken und links von der rechten Nullstelle in deine Zeichnung einfügen; das ergibt je einen x-Wert. Aus Symmetriegründen reicht, einen dieser x-Werte in die Gleichung einzusetzen, um die gesuchte Höhe zu bekommen.
Ich denke, dass "F(x)" eine Schreib-Nachlässigkeit des Fragestellers war, denn die ganze Aufgabe ist ihrer Anlage nach eine Mittelstufen-Aufgabe. Meine Rechtschreibung & Grammatik ist bei so fix geschriebenen Texten auch nicht immer völlig astrein...
Integralrechnung wird für keine der anschaulich-konkreten, als Zahlen zu bestimmenden Lösungen erforderlich.
Wahrscheinlich hast du recht. die Stammfunktion mach in diesem Zusammenhang auch nicht wirklich Sinn.
Keine Hausaufgabenhilfe, aber ein Tipp:
Visualisieren! Zeichne auf ein leeres Blatt Papier einen Torbogen (umgekehrte Parabel und Linie drunter)
Koordinstensystem einfügen: Die x-Achse haben wir schon, die y-Achse setzt Du einfach am linken Schnittpunkt an.
Was sagt und dieses Bild jetzt? Es gibt 2 Nullpunkte (wo?) und einen Scheitelpunkt (wo?)
Setz dann die beiden Nullpunke in die quadratische Gleichung der Form y=ax²+bx+c ein.
Wleches Ergebnis für c erhältst Du am ersten Nullpunkt?
Welches Verhältnis von a/b erhältst Du am 2. Nullpunkt?
Wenn Du bis dahin kommst, poste mal deine Zwischenergebnisse...
Danke,
soweit war ich ungefähr auch schon. c wurde ja mit 2m gegeben. C= schnittpunk auf der y-Achse. Nullpunkt auf der x-Achse sind -1 und 1.
Mach dir eine Zeichnung davon und lege ein Koordinatensystem rein. Ich habe es jetzt so gemacht, dass der Ursprung sozusagen am Boden genau in der Mitte des Torbogens ist. Somit habe ich die gegebenene Punkte A(-1|0) B(2|0) und C(1|0)
1) f(x)=ax²+bx+c
Punkte einsetzen
A: a-b+c=0
B: c=2
C: a+b+c=0
a-b+2=0
a+b+2=0
2a+4=0
a= -2
b=0
f(x)= -2x²+2
2) F(x)= -2/3 x³+2x= -2/3 x (x²-6)= -2/3 x (x-W6)(x+W6) W=Wurzel
3) Scheitelpunkt: 1. Ableitung=0 Ableitung ist aber ja die Funktion
-2x²+2=0
2x²=2
x²=1
x1=1
x2= -1
F'' (x)= -4x
F'' (-1)=4>0 -> Minimum
F'' (1)= -4<0 -> Maximum
Hat keinen Scheitelpunkt!
4) Für f(x) 1 m einsetzen, die x-Werte berechen und dann subtrahieren für den Abstand
-2x²+2=1
2x²=1
x²=1/2
x1= 1 / W2
x2= -1 / W2
Abstand: x2-x1=2 / W2=W2
Mit 1,80 m kannst du selbst rechnen
5) x=0,7
f(x)= -2 * 0,7²+2=1,02
Ergänzung: Da du ab Aufgabe 2) F(x) und nicht f(x) geschreiben hast ging ich von der Stammfunktion aus, dass die gesucht wurde!
Wenn nicht, dann
f(x)= -2x²+2= -2(x-0)²+2, also S(0|2)
oder mit Ableitung
f' (x)= -4x
-4x=0
x=0
f(0)=2 -> S(0|2)
Ich hoffe, du bist wirklich 24 und willst nur deine Grundkenntnisse auffrischen!
Erstmal zur 1)
Die allgemeine Parabelschreibweise lautet f(x)=ax²+bx+c (Das ist die gesuchte abc-Schreibweise).
Du musst jetzt eine Skizze mit Koordinatensystem machen, damit klar ist, wie der Bogen in deinem System liegt. Ich würde vorschlagen, dass die x-Achse quasi der Boden ist und die y-Achse in der Mitte der Parabel durch den höchsten Punkt verläuft.
Du kannst jetzt ablesen, dass der Scheitelpunkt (0|2) ist. Das setzt du in die allgemeine Scheitelpunktform ein: Aus f(x)=a(x-b)²+c wird dann f(x)=a(x-0)²+2)
Jetzt fehlt dir also nur noch der Faktor a. Den ermittelst du, indem du einen beliebigen Punkt in die Funktion einsetzt und nach a auflöst: Ein Punkt wäre z.B. (1|0). Daraus folgt: f(1)=a(1-0)²+2=0 Daraus lässt sich errechnen, dass a=-2 ist. Also ist die Lösung:
f(x)=-2x²+2
Ich hatte es jetzt so verstanden, dass der Scheitelpunkt der Stammfunktion gesucht war, die aber ja keinen Hat, da 3. Grades.