Ab wie vielen Würfen des Oktaeders ist die Wahrscheinlichkeit größer?
Aufgabe: Ein regelmäßiger oktaeder (achtflächner), dessen Seitenflächen mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet sind, soll mehrfach geworfen werden. Dabei nehmen wir an, dass es sich um einen fairen oktaeder handelt, d.h. alle Zahlen von 1 bis 8 werden nach einem Wurf mit der selben Wahrscheinlichkeit gezeigt.
- Ab wie vielen Würfen des Oktaeders ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 8 erscheint, größer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 8 kein einziges mal erscheint?
4 Antworten
(7/8)^n < 0,5
n * ln(7/8) < ln(0,5)
n > 5,19
6 Würfe
kein einziges Mal eine 8 ?
(7/8)^n
.
mindestens einmal eine 8 ?
ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu kein einziges Mal :
1 - (7/8)^n
.
1 - (7/8)^n = (7/8)^n
1 = 2*(7/8)^n .......durch 2
0.5 = (7/8)^n ...... logarithmus
log(0.5) = n*log(7/8)
Jetzt soll aber 0,5 < als (7/8)^n sein, sodass man nicht mehr einfach n=log(0,5)/log(7/8) rechnen kann. Wir haben eine Ungleichung und log(7/8) ist negativ. Damit dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Division um.
Ja, aber log(7/8) ist auch negativ. Und wenn du bei Ungleichungen mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, dann musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen, also aus > wird < und aus < wird >.
Im Beispiel, wenn du das nicht machen würdest, hättest du ja log(0,5)/log(7/8) < n. Aber das wäre ja total falsch, denn log(0,5)/log(7/8) soll ja gerade > n sein.
du hast natürlich Recht : egal wie man es dreht , eine Division durch MINUS ist nötig . Ich habe mich allerdings um das > < Zeichen gedrückt :))
Wie schön , dass der FS nicht nachfragt .
solche Aufgaben rechnet man mit dem Gegenereignis
Das Gegenereignis von mindestens einmal 8 ist keine 8
die Wahrscheinlichkeit für keine 8 ist 7/8
bei n Würfen mindestens einmal eine 8:
1-(7/8)^n > (7/8)^n
Die Wahrscheinlichkeit, keine 8 zu werfen, ist bei jedem Wurf 7/8.
Jetzt brauchst du nur auszurechnen, wie oft man 7/8 mit sich selbst multiplizieren muss, bis das Ergebnis kleiner als 1/2 ist.
Weil dann die Wahrscheinlichkeit für "mindestens eine 8" größer ist als für "keine 8".
Die ergibt sich aus der Aufgabenstellung:
Ab wie vielen Würfen des Oktaeders ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 8 erscheint, größer als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 8 kein einziges mal erscheint?
Sinkt die Wahrscheinlichkeit für "keine 8" mit zunehmender Anzahl der Würfe auf unter 1/2, ist diese Bedingung erfüllt, weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten für "keine 8" und "mindestens eine 8" gleich 1 ist.
Oder worauf willst du hinaus?
wie kommst du auf 0.5 ?