Frage von Takaki, 286

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, wenn man schon 100 mal keine 6 gewürfelt hat?

Hallo,

die Wahrscheinlichkeit, mit einem gewöhnlichen Würfel eine 6 zu würfeln, ist 1/6, keine Frage. Da sich der Würfel ja nicht ändert, müsste diese Einzelwahrscheinlichkeit ja auch bei jedem weiteren Wurf gleich bleiben. Nicht umsonst kann man soetwas ja auch als einfache Bernoulli-Kette auffassen.

Dennoch gibt einem der Menschenverstand das Gefühl, dass mit jedem Wurf, der mit einer anderen Augenzahl ausgeht, die Wahrscheinlichkeit steigt, beim nächsten "endlich" eine 6 zu würfeln.

Sagen wir also, man hat 100 mal keine 6 gewürfelt. Ist die Wahrscheinlichkeit, beim 101. Wurf nun die 6 zu würfeln, immer noch 1/6, oder tatsächlich größer, und wenn letzteres, wie wäre das mathematisch zu begründen?

Ich bin sicher, ich stehe grad nur irgendwie auf dem Schlauch. Erleuchtet mich! (:

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von nobytree2, 159

Die Wahrscheinlichkeit bleibt gleich 1/6.

Ganz einfach zu verstehen: Nach 100 mal würfelst Du noch einmal. Es gibt jetzt sechs verschiedene Möglichkeiten, nämlich sechs verschiedene Ketten bestehend aus 101 Elementen, die ersten 100 sind fix, das letzte ist noch variabel. Welche Wahrscheinlichkeit hat jede Kette? Richtig - 1/6

Das Problem sieht man im Roulette häufig: Es ist schon fünf mal rot gekommen, jetzt muss schwarz kommen. Falsch!

Die Kette rot-rot-rot-rot-rot-schwarz hat exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit wie rot-rot-rot-rot-rot-rot!

Nur: Die Kette mit fünfmal rot und einmal schwarz darin hat eine höhere Wahrscheinlichkeit als sechs mal rot, da es mehrere Ketten mit beliebiger Stelle schwarz gibt.

In Deinem Beispiel ist die Stelle in der Kette jedoch fix, so dass sich die Wahrscheinlichkeit nicht erhöht.

Kommentar von Takaki ,

Danke für die anschauliche Erklärung (:

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 124

Wahrscheinlichkeit ist ein eigen Ding. Wenn du die 100 Würfe schon hinter dir hast, hat auch der nächste Wurf die Wahrscheinlichkeit 1/6.

Hättest du vor deiner Pechserie die Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, in hundert Würfen keine 6 zu würfeln, hättest du es ausrechnen können, nur hätte es in der Realität trotzdem nicht einzutreten brauchen.

Stochastik ist eine realitätslose Kunst.

Kommentar von Takaki ,

Ich denke eher, der Menschenverstand ist der Realität ferner als die Stochastik.

Antwort
von blechkuebel, 116

Dennoch gibt einem der Menschenverstand das Gefühl, dass mit jedem Wurf, der mit einer anderen Augenzahl ausgeht, die Wahrscheinlichkeit steigt, beim nächsten "endlich" eine 6 zu würfeln.

Dieses Phänomen nennt man "gambler's fallacy" (deutsch: "Spielerfehlschluss"). Und es ist, wie der Name sagt, ein Fehlschluss. (Dazu dürfte es auch einiges an psychologischer Forschung geben). https://de.wikipedia.org/wiki/Spielerfehlschluss

Antwort
von Wannabesomeone, 98

Immernoch 1/6
Die anderen Seiten verschwinden ja nicht.
Allerdings bei 100× keine 6... Dann gehen die Chancen wohl gegen 0 da der Würfel gezinkt ist ;)

Kommentar von Takaki ,

Der Würfel muss nicht gezinkt sein. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Würfel 100 mal keine 6 zu würfeln ist ja einfach bloß (5/6)^100 = 1,2 * 10^-6 %, also nur sehr klein.

Kommentar von Wannabesomeone ,

War ja auch nur sehr humoristisch :') trotzdem danke für die Erklärung

Antwort
von Girschdien, 98

Jedes einzelne Würfeln ist unabhängig vom vorhergehenden Würfeln, ergo ist die W., beim 101. Wurf eine 6 zu würfeln 1/6 bei einem idealen Würfel, gleichwohl die Wahrscheinlichkeit, 100x keine 6 zu würfeln sehr gering ist. 

Das ist wie beim Roulette. Wenn zehn Mal Schwarz kam, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim elften Mal Rot kommt, trotzdem genauso groß, wie für Schwarz.

Kommentar von Takaki ,

Okay, danke für das Roulette-Beispiel. Dann trügt einen nur der "gesunde" Menschenverstand.

Antwort
von Kaenguruh, 57

Die Wahrscheinlichkeit ist auch nach dem 100-ten  Wurf noch 1/6, weil die Natur für die Würfe kein Gedächtnis hat. Stelle Dir vor, sie hätte eines; wie lange hielte das dann an ?  Würde es auch über Jahre anhalten? Und würde es auch für andere Personen gelten? Dann würden ja die Würfe, die irgendeine Person irgendwo im Universum irgendwann gemacht hat, geisterhaft Deine Würfe beeinflussen. Das kann nicht sein.

Kommentar von Takaki ,

DAS ist auch etwas, was ich mich schon gefragt hatte. Bis wie weit in der Zeit zurück müsste man es als *einen* Zufallsversuch betrachten? Aber gut, dass das nicht so ist, danke für die Erläuterung.

Antwort
von karinili, 97

Man kann in beide Richtungen argumentieren.

Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf ansich wird immer 1/6 bleiben und sich nicht ändern. Das stimmt.

Allerdings multiplizieren sich die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bei zB einer bestimmen Reihenfolge an Zahlen ja auch auf (deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für einen 6er im Lotto ja so gering). Das heißt die Wahrscheinlichkeit bei 100 Mal würfeln keine 6 zu würfeln ist verschwindend gering, da es (5/6)^100 wäre (Die Wahrscheinlichkeit nur 6en zu würfeln, wäre (1/6)^100, die Zahl schließt sich also aus dem Umkehrschluss) und geht damit gegen Null.
Beim 101. Wurf ebenfalls KEINE 6 zu würfeln, wäre dann (5/6)^101 und damit noch kleiner.

Was heißt das jetzt? Die Wahrscheinlichkeit für den Wurf ansich eine 6 zu würfeln ändert sich nicht. Jedoch die Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit die Kette ohne 6 fortzusetzen sehr klein, und deshalb ist auch dieses subjektive Empfinden da, dass da doch endlich mal eine 6 kommen muss ;)

Kommentar von Takaki ,

Beim 101. Wurf ebenfalls KEINE 6 zu würfeln, wäre dann (5/6)^101 und damit noch kleiner

Das haut dann aber nicht hin. Wenn ich in all den Antworten hier eines gelernt habe, ist es, dass die Wahrscheinlichkeit, beim 101. Wurf keine 6 zu würfeln, genauso 5/6 ist, wie beim ersten oder 27568. Wurf.

Nur die Wahrscheinlichkeit 101 MAL keine 6 zu würfeln, ist (5/6)^100.

Aber danke für die ausfürhliche Antwort (:

Kommentar von karinili ,

Unglücklich ausgedrückt ja, sollte eher heißen "wieder keine 6 zu würfeln", aber du hast das Schema scheinbar verstanden :) und sehr gerne.

Antwort
von ettchen, 95

Die Wahrscheinlichkeit ist für jeden Wurf genau 1/6. Egal, wie oft und was du vorher schon gewürfelt hast.

Antwort
von neuerprimat, 43

Eine dritte Variante, wie du sie z.B. in einfachen K.I.'s einsetzen kannst, sind Bayes-Wahrscheinlichkeiten, eine besondere Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten.

In diesem Ansatz interpretierst du die W. als ein "Maß für die Überzeugung, dass ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsexperiments eintritt".

Sagen wir mal, am Anfang deines Experimentes gehst du a priori davon aus das der Würfel ideal ist. also jede Zahl hat die W. 1/6.

Mit jedem Wurf "lernst" du aber nun etwas darüber, ob die Zahl tatsächlich gekommen ist oder nicht und gibst dann die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür an, ob im nächsten Wurf eine 6 kommen soll oder nicht.

Und tatsächlich: wenn du nach hundert Würfen nicht eine 6 hattest, dann ist die W., dass beim 101 Wurf die 6 kommt praktisch null, da der Würfel mit einer sehr hohen W. nicht ideal ist.

Das wird bei dem "idealisierten" Ansatz oft vergessen ....

Guckst du mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Bayesscher_Wahrscheinlichkeitsbegriff

Kommentar von Takaki ,

Interessante Betrachtungsweise. Mir ging es jedoch um den Fall, dass das Wissen um die Idealität des Würfels gegeben ist und man tatsächlich von dem (äußerst unwahrscheinlichen, jedoch nicht unmöglichen) Fall ausgeht, dass 100 mal keine 6 kam.

Antwort
von Tannibi, 32

Dennoch gibt einem der Menschenverstand das Gefühl, dass mit jedem Wurf,
der mit einer anderen Augenzahl ausgeht, die Wahrscheinlichkeit steigt,
beim nächsten "endlich" eine 6 zu würfeln.

Das glauben viele, denn "der Durchschnitt muß ja gerettet werden"; darum nennen manche Lotto-Annahmestellen die sechs Zahlen, die in letzter Zeit am seltensten gezogen wurden. Warum das nicht so ist, dafür braucht man schon eine gewisse Kenntnis in der Mathematik.

Kommentar von Takaki ,

Okay, klingt logisch. Die nötigen Mathekenntnisse besitze ich eigentlich, aber manchmal macht einem das Gefühl einfach einen Strich durch die Rechnung (im wahrsten Sinne des Wortes).

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Hallo,

Würfel, Münzen, Lottokugeln, Pokerkarten, Roulette usw. haben kein Gedächtnis. Bei jedem Spiel fängt man wieder bei Null an.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung nützt aber nur, wenn an den Spielgeräten nicht manipuliert wurde. 

Hundertmal keine Sechs riecht ein wenig nach Betrug, muß aber nicht sein. Theoretisch sind auch eine Million Dreier hintereinander möglich. Dennoch bliebe die Chance dafür, daß die einemiliionunderste Zahl auch eine Drei ist, bei 1/6.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Rubezahl2000, 53

"Unabhängiges Ereignis" ist hier das Stichwort!
Dem Würfel ist es völlig egal, was bislang gelaufen ist. Er hat kein Gedächtnis ;-)
Die Voraussetzungen sind bei jedem Wurf IMMER die selben.

Jeder einzelne Wurf ist ein unabhängiges Ereignis und die Wahrscheinlichkeit für die 6 beträgt IMMER 1/6

Antwort
von Darkabyss, 68

Ansich ist die Wahrscheinlichkeit nach eine 6 zu würfeln genau 1/6 bzw. 16,6 %.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es aber noch einen weiteren Teil. Wie wahrscheinlich ist es, dass nach 100 Würfen nun endlich die 6 kommt? Dazu rechnet man 1 - ((5/6) ^ 100). Der Wert liegt dann bei ca. 99,999998792 %.

Heißt es muss nach 100 nicht einmal eine 6 vorgekommen sein, aber es besteht eine 99,99 % Chance dass mindestens 1e 6 bei den 100 Würfen vorkam.

Kommentar von Takaki ,

Das widerspricht jetzt aber allen Antworten hier. 1 - (5/6)^100 ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass nicht genau keine, sprich mindestens eine 6 vorkommen wird, wenn der Zufallsversuch noch nicht geschehen ist.

Kommentar von Darkabyss ,

Der Frager hat gefragt, ob die Wahrscheinlichkeit immer 1/6 bleibt, oder ob es sein kann, dass die Wahrscheinlichkeit steigt.

Und jedesmal wo keine 6 gewürfelt wird, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 6 Gewürfelt wird, weil sich die Wahrscheinlichkeiten addieren. Sieht man sich nur ein Wurf an, ist es keine Frage 1/6, würfelt man aber öfters hintereinander ist die Wahrscheinlichkeit sehr wohl höher.

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 30

Lehrsatz: "Die Eintreffwahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist völlig unabhängig von vorhergegangenen gleichartigen zufälligen Ereignissen."

Und wenn tausendmal keine 6 kam, ist die Wahrscheinlichkeit im nächsten Wurf wieder 1/6.

Antwort
von neuerprimat, 67

Die Wahrscheinlichkeit nach dem hundertsten, tausendsten mal eine Sechs zu würfeln ist genaus groß wie nach dem ersten mal, da sich das Experiment, der Würfelwurf, ja nicht ändert.

Und: "der gesunde Menschenverstand" sagt dir bei Wahrscheinlichkeiten und Statistiken leider garnix, da das etwas ist, was Menschen NICHT instinktiv können. Da musst du immer kalt-logisch rechnen, auch wenn's seltsam erscheint!

Kommentar von Takaki ,

Okay, gut. Das ist mir immer noch lieber, als für solche Fälle wieder andere Formeln anwenden zu müssen.

Antwort
von WetWilly, 91

Wie die "Kollegen" schon richtig geschrieben haben: 1/6.

Warum ist das so? Weil die Ereignisse (also die einzelnen Würfe) von einander unabhängige Ereignisse sind, wie der Mathematiker sagen würde.

Antwort
von neuerprimat, 62

Es gibt noch eine andere Antwort, die wäre aber erheblich komplizierter:

Sagen wir mal, du würdest testen wollen, ob der Würfe ordentlich ist, also dass alle Seiten gleichwahrscheinlich fallen.

Dann könntest du nun die Ergebnisse deines Serienexperiments nehmen und einen Hypothesentest durchführen, an dessen Ende herauskommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit du davon ausgehen darfst, dass der Würfel neutral ist, unter der Berücksichtigung deiner Ergebnisse.

Beachte aber, dass das eine andere Frage ist.

Kommentar von Takaki ,

Ja, mit Signifikanztests hatte die Frage ja so gesehen nix zu tun. Danke trotzdem für die Erklärung.

Antwort
von qwertzboy, 20

6. Klasse: Wahrscheinlichkeitsrechnung. LOL

Kommentar von Takaki ,

Was ist denn dein Problem? :D

Kommentar von qwertzboy ,

Hab Mathematik in meinen Themenbereichen und da bekommt man normalerweise immer eher härtere Fragen :'D Und dann kommt halt sowas, was dir ein 5-6. Klässler besser erklären kann, als die Leute, die hier geantwortet haben :P Fand's also nur lustig :)

Kommentar von Takaki ,

Tut mir leid dich da enttäuschen zu müssen, aber ich glaube kaum, dass Bernoulli-Ketten Stoff der 6. Klasse sind. Ein 6.-Klässler würde sich darüber wohl kaum darüber Gedanken machen, dass z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 Würfen mindestens eine 6 dabei ist, 1 - (5/6)^100 beträgt. Wenn dir elementare Stochastik zu billig ist, dann geil dich doch weiter an partiellen Differentialgleichungen auf. :P

Kommentar von qwertzboy ,

Also auf meinem Gymnasium kam das in weit schwererem Maße in der 6. Klasse dran :) War aber auch ein auf Mathematik Fokussiertes. Und um ehrlich zu sein, war genau deine Frage eins der ersten Beispiele damals :P Weiß aucn nicht, warum du so extrem unfreundlich bist, nur weil jemand deine Frage lustig fand.

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