Kann der Oberflächeninhalt bei einer Kugel größer sein als das Volumen?
10 Antworten
Wie meine Vorredner schon gesagt haben, ergibt es keinen Sinn zwei verschiedene Einheiten zu vergleichen. Deine Frage würde ich aber dennoch ernst nehmen und finde sie auch recht interessant.
Blendet man die Einheit mal aus, ist ja die Frage, ob die Größe der Oberfläche größer sein kann, als der Wert des Volumens.
Und die einfache Antwort ist: ja das geht. Im Falle der Kugel ist das aber nicht ohne weiteres möglich. Betrachtet man die Formeln für Oberfläche und Volumen, stellt man recht schnell fest, dass sie höchstens gleich sein können - bei einem Radius von 1.
Es geht aber auch eine Spur krasser: Betrachtet man der Einfachheit halber mal eine Fläche auf einem Papier und den Umfang dieser Fläche - dann ist es tatsächlich möglich etwas zu betrachten, dass einen unendlichen Umfang hat, aber einen endlichen Flächeninhalt. Ein Beispiel dafür ist der Kochstern. Etwas ähnliches kann man später auch mit "uneigentlichen Integralen" betrachten und berechnen. Auch diese sind Flächen mit unendlichen Umfang, aber endlichem Flächeninhalt... Krass, oder?
So abwegig war die Frage also gar nicht. :)
Ich erkenne überhaupt keinen Sinn in dieser Antwort! Die Frage ist einfach Quatsch!
ZB Kugel, mit 1 m Radius, damit es besonders einfach ist!
V=4/3×pi×r^3= 4 × 3,14 × 1^3 m^3 ÷ 3 = 4,19 m^3
A=4×pi×r^2=12,6 m^2
Jetzt könnte jemand ohne Ahnung sagen: "Haha! 12,6 ist ja wohl größer als 4,19!"
Aber was passiert, wenn wir in cm rechnen?
V= 4 188 790 ml
A= 125 664 cm^2!
'Plötzlich' ist der Betrag des Volumens DOCH viel größer als der der Fläche!
Was bringt es also Volumen und Oberfläche von Kugeln vergleichen zu wollen? Jede Frage oder Aussage zu 'größer oder kleiner' is sinnlos!
Wichtig (!): Gleichheit der Zahlenwerte hat man mit einem Radius von 1 natürlich nur für Umgang und Flächeninhalt eines Kreises!
Bei einer Kugel kann man für Oberfläche und Volumen auch dieselben Werte erreichen. Jedoch sollte der Radius in diesem Fall vielmehr 3 sein. Erkennbar durch Gleichsetzung der Terme und Auflösung nach r.
Die Unterscheidung ist in der Antwort nicht ganz klar, aber wesentlich!
siehe Mathe-Formelbuch,Kapitel,Geometrie,Geometrische Körper (Stereometrie)
Volumen der Kugel V=4/3*pi*r³=1/6*pi*d³
Nehmen wir als Maßeinheit m (Meter),so ergibt sich die Einheit für das Volumen
wegen r^3 m*m*m=m³ Kubikmeter
Oberfläche einer Kugel O=4*pi*r²=pi*d²
wegen r² m*m=m² Quadratmeter
Wir sehen hier,dass das Volumen eine andere Einheit hat ,als die Oberfläche.
Merke:
1) Volumen hat den Exponenten n=3 (m³ oder cm³ oder mm³ usw.)
2) Oberfläche (Fläche) hat im Exponenten n=2 (m² oder cm² oder mm² usw.)
Die Oberfläche hat somit mit dem Volumen nichts zu tun.
Flächeninhalt und Volumen sind zwei unterschiedliche Größen, die man nicht einfach so miteinander vergleichen kann.
Beispiel: Was würdest du bei der folgenden Frage antworten: Ist der Flächeninhalt 10 m² größer oder kleiner als das Volumen 1 m³?
(Da würde mich deine Antwort interessieren, wenn du eine hast. Meine Antwort wäre, wie im Grunde bereits geschrieben: Die Frage ergibt keinen Sinn. Man kann Flächeninhalt und Volumen nicht einfach so vergleichen und hier sagen, dass das eine größer/kleiner als das andere ist.)
Ja nur der Betrag und trotzdem sind beide nicht gleich, weil eine Größe Betrag und Einheit hat!
Wie gesagt nur sinnvoll, wenn man die reinen Zahlenwerte vergleichen will.
Dann soll gelten:
Da r>0 sein muss, ist für damit der Zahlenwert der Oberfläche größer als der des Volumens.
Oberflächeninhalt ist ein irreführendes, wenn auch wenig gebräuchliches Wort für Oberfläche
Für die Kugel gilt
Volumen : 4/3 * pi * r * r * r = 4 * pi * ( 1/3 * r³ )
Oberfläche : 4 * pi * r * r = 4 * pi ( r² )
Wenn man nur von den Zahlen ausgeht , dann ist das Volumen i m m e r um den Faktor 1/3 * r größer als die Oberfläche .......dachte ich , aber dann habe ich es mal probiert .
Ist r < 3 , dann O > V , bei r = 3 ist O = V , bei r > 3 ist O < V
Beispiel für r = 4
https://www.wolframalpha.com/input/?i=surface+volume++sphere+r+%3D+4
Wie gesagt : Mathematisch ist der Vergleich nicht sinnvoll , aber als Denkspiel hat es den FS vielleicht gereizt.
Je nach Wert für r ist aber r/3 auch kleiner als 1
UND auch r^2 kann sowohl größer, als auch kleiner sein, als r^3!
Welche Bedeutung hat dann dieser Vergleich, bzw. diese Wertung?
Sie unterscheiden sich genau um den Faktor r/3, aber was größer und was kleiner ist, kommt auf die verwendete Einheit an!
habe mal ein bißchen rumgespielt : nur bei r = 3 ist der Betrag von O und V derselbe , sonst unterschiedlich.