Gibt es Funktionen dritten Grades, die keine Nullstellen haben?

ja.

die funktion f:N->R, f(x)=x^3+1 z.b. hat keine nullstelle, da f(x)ungleich 0 für alle x aus N.

in der schule betrachtet man in der regel jedoch nicht die definitions- und wertebereiche (in dem fall N und R, dabei sind N die natürlichen zahlen, also 1,2,3,... und R die reellen zahlen, das sind rationale sowie nicht-rationale zahlen). in der schule wird meistens stillschweigend davon ausgegangen, dass die funktionen von R->R definiert sind, also dass alle reellen zahlen betrachtet werden. die funktion f:R->R, f(x)=x^3+1 besitzt selbstverständlich eine nullstelle, nämlich x=-1.

alle funktionen dritten grades, die von R->R definiert sind, besitzen minestens eine nullstelle, höchstens 3. funktionen dritten grades sind ganzrationale funktionen und sind stetig, d.h. so grob: sie besitzen keine sprungstellen oder: man kann ihren graphen von links nach rechts zeichnen, ohne mit dem stift abzusetzen. ganrationale funktionen divergieren immer, d.h. sie streben für x gegen unendlich immer nach + oder - unendlich, das ganze für x gegen - unendlich.

für unendlich große oder unendlich kleine x strebt x^3 schneller gegen + oder - unenlich als x^2 oder x. damit hängt das verhalten der gesamten funktion im wesentlichen von x^3 ab.

und es gilt weiterhin für f(x)=x^3:

f(x)=-f(-x) x^3=-(-x)^3 x^3=-(-1)^3x^3 x^3=-(-1)x^3 x^3=x^3

also ist das ganze punktsymmetrisch. wenn f(x) für x gegen unendlich gegen unendlich strebt, dann strebt f(x) für x gegen -unendlich gegen -unendlich und umgekehrt.

also ist f(x) auf jeden fall einmal negativ und einmal positiv und da das ganze stetig ist, muss die funktion an mindestens einer stelle null werden.

das gilt allgemein für alle ganzrationalen funktionen, deren grad ungerade ist.

hinweis: das war kein perfekter mathematischer beweis, nur ne erklärung, aber ich denke, dass dürfte es trotzdem treffen.

Eine Funktion 3. Grades hat immer min. eine Nullstelle. Kann man leicht erklären: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist immer stetig (einfach gesagt man kann sie zeichnen ohne den Stift abzusetzen) und geht vom III Quadranten zum I Quadranten bzw. vom II Quadranten zum IV bei negativen Vorzeichen.(einfach mal ±∞ in eine Funtion 3. Grades einsetzen, also lim(x±∞)ax³+bx²+cx+d, dann wird es klar) So mit folgt das jede Funktion 3. Grades min. eine Nullestelle hat

Jede Funktion von R->R mit ungeradem Exponenten hat mindestens eine reelle Nullstelle. Man kann das Polynom in ein Produkt aus reellen und komplexen Koeffizienten zerlegen, die komplexen Koeffizienten treten dabei immer paarweise auf und sind konjugiert komplex zueinander. Bei ungeradem Grad bleibt also mindestens ein reeller Faktor übrig.

Nur wenn man bei f(x)=ax³+bx²+c für a auch Null zulässt... Aber bei einer Funktion dritten Grades wird das eben meist ausgeschlossen.

mit ungeraden exponenten ja. mind eine hatten wir letztens in mahte