Wieso hat eine funktion 3 grades maximal 3 nullstellen?
hallo leute also ich steh gerade auf dem schlauch und bräuchte eure hilfe. ich hab bei einer arbeit die aufgaben gestellt bekommen: begründe warum funktionen 3 grades maximal 3 nullstellen und maximal 2 extremstellen besitzen können allerdings hab ich den grund vergessen könnt ihr mir helfen und mir das sagen?
4 Antworten
Ein Weg:
Man kann jede Funktion "faktorisieren". Eine Funktion dritten Grades hat faktorisiert immer drei Faktoren denn du musst x dreimal mit sich selbst multiplizieren damit x³ rauskommt.
zB. f(x) = (x + 3)(x - 1)x
In dieser faktorisierten Form kann man immer alle Nullstellen ablesen. In diesem Fall hat sie drei Nullstellen. -3, 1 und 0
Eine Funktion dritten Grades kann nicht mehr als 3 Nullstellen haben da du sonst zB. viermal x miteinander multiplizieren würdest und es somit nicht mehr dritten Grades wäre.
Das mit den Extrema war blöd ausgedrückt also nochmal:
Die Extrema sind die Nullstellen der Ableitung. Die Ableitung ist immer um einen Grad tiefer als die Funktion selbst, somit gilt aus selben Grund wie oben, dass es maximal so viele Extrema gibt, wie Nullstellen der Ableitung möglich wären.
Korrektur: Nur bei geraden mehrfachen Nullstellen ist dort ein Extrema^^ Bei ungraden ist dort ein Sattelpunkt.
Hoffe das war jetzt nicht zuviel Information.
Du kannst bei www.wolframalpha.com einfach mal ein paar Funktionen eingeben und sie anzeigen lassen.
Gibt zB. ein: plot f(x)=(x+2)(x-2)^2
Habs mal für dich hier gemacht: http://tinyurl.com/5w5lhu9
Das ist alles wirklich einfacher als es klingt wenn man ein bisschen rumprobiert!
danke schön habs wie du es erklärt hast schon verstanden und sie hier dann nochmal etwas kürzer und knapper :
Da f Grad 3 hat und die Anzahl der Nullstellen die Grad nicht überschreiten kann, hat f höchsten 3 Nullstellen. Da f' Grad 2 hat, die Extremstellen den Nullstellen von f' entsprechen und die Anzahl der Nullstellen den Grad nicht überschreiten kann, hat f höchstens 2 Extremstellen.
Eine Funktion dritten Grades lässt sich immer darstellen in der Form
f(x)=(X+a)(x+b)(x+c)
Eine solche Funktion hat genau drei Nullstellen x=-a, x=-b und x=-c, falls a,b und c ungleich sind. Für den Fall der Gleichheit gibt es halt weniger..
Grundsatz: Polynom n-ten Grades hat immer maximal n Nullstellen und zwischen 2 Nullstellen muss immer ein Extrema liegen -also maximal n-1.
Weil die Ableitung eine Funktion 2. grades ist...
also hab ich das jetzt richtig verstanden das der grad der funktion immer die anzahl gibt ?? ist das schon die begründung ??
Nochwas ergänzend:
Hat eine Funkion n-ten Grades nur eine Nullstelle, spricht man von einer n-fachen Nullstelle.
zB. f(x) = x³ hat eine Nullstelle bei 0. Man nennt das jedoch dreifache Nullstelle da man ja wieder die Funktion wie folgt zerlegen kann:
f(x) = x³ = x * x * x = (x - 0)(x - 0)(x - 0)
also eine dreifache Nullstelle bei 0.
Selbiges gilt bei f(x) = (x - 4)(x + 2)²
Eine Nullstelle bei 4 und eine doppelte bei -2.
Die Funktion hat an einer mehr-fachen Nullstelle immer ein lokales Extrema.