Begründe Sie rechnerisch, dass eine beliebige Parabel keinen Wendepunkt haben kann?
Das ist eine Mathe Aufgabe die wir im Unterricht gestellt bekommen haben es geht um eine Funktion im 3 Grades.
5 Antworten
es geht um eine Funktion im 3 Grades.
Das kann nicht sein.
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat sehr wohl einen Wendepunkt, wozu ja auch der Sattelpunkt gehört (ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt).
Sowohl die Funktion f(x) = x³ als auch g(x) = x³+3x²-x besitzen einen Wendepunkt.
Unter einer Parabel versteht man ja normalerweise eine ganzrationale Funktion 2. Grades, also eine quadratische Funktion, die tatsächlich keinen Wendepunkt haben kann.
Ich würde es wie folgt zeigen:
f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
f'''(x) = 0
Nachdem du die Nullstellen der 2. Ableitung (f'') berechnet hast (notwendige Bedingung), setzt du diese ja in die 3. Ableitung (f''') ein und musst dann die hinreichende Bedingung prüfen, die bei Wendepunkten wie folgt geht:
f'''(x) ≠ 0
Und da siehst du schon: Die 3. Ableitung ist sehr wohl null, obwohl ich alles mit den Buchstaben allgemein gerechnet habe und es für jede beliebige quadratische Gleichung gilt. Sprich: Die 3. Ableitung bei einer quadratischen Funktion ist immer null. Demnach wird die hinreichende Bedingung für Wendepunkte bei quadr. Funktionen auch nie erfüllt und demnach können quadratische Funktionen auch nie einen Wendepunkt besitzen.
Es gibt durchaus Wendepunkte, bei denen die notwendige aber nicht die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Deshalb ist es falsch, daraus dass die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, auf die Nichtexistenz des Wenepunkts zu schließen.
Wann tritt das denn auf? Wir haben es eindeutig so gelernt, wie ich es hier auch geschrieben habe. Mit den Nullstellen geht es natürlich auch. Ich fand es jetzt eigentlich einfacher mit der 3. Ableitung und hab deswegen die hinr. Bedingung genommen. Dass das nun so einen Unterschied macht, kann ich auch nach deiner Erklärung nicht nachvollziehen, weil das Hintergrundwissen anscheinend fehlt.
f(x) = x^5 hat einen Wendepunkt bei x=0 ( die sieht fast so aus wie f(x)=x^3 )
f'(x) = 5x^4 f''(x) = 20x^3 f'''(x) = 60x^2
f''(x) = 0 (notwendige Bedingung für Wendepunkt ist erfüllt)
f'''(x) = 0 (hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt)
Wäre f'''(x) ungleich Null, dann läge sicher ein Wendepunkt vor, denn das ist hinreichend (man könnte auch ausreichend sagen). Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, guckt man, ob es an der fraglichen Stelle einen Vorzeichenwechsel bei f''(x) gibt. Das ist tatsächlich gegeben: wenn x<0 folgt 20x^3 < 0, wenn x>0 folgt 20x^3 > 0. Also ist die Funktion für x<0 rechtsgekrümmt und für x>0 linksgekrümmt, sprich es liegt ein Wendepunkt rechts/links vor.
Eigentlich kann ich mir kaum vorstellen, dass ihr keinen Unterschied zwischen notwendig und hinreichend gemacht habt. Allerdings (aus eigener Erfahrung) ist das etwas schwierig zu erklären und oft gibt man sich als Lehrer damit zufrieden, wenn die Schüler bei der 1. Bedingung notwendig und bei der 2. Bedingung hinreichend sagen, ohne es wirklich verstanden zu haben. Bei den meisten Aufgaben sind notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt und man ist fertig. Die Spezialfälle sind dann eher was für den Leistungskurs.
Schlechtes Beispiel, aber passend zur Uhrzeit (gleich kommt der Tatort): Wenn einer einen anderen umbringt und mehrere Zeugen haben es gesehen, ist das hinreichend um ihn zu verurteilen. Wenn es niemand gesehen hat, kann er trotzdem der Täter sein, man muss dann halt andere Beweise finden. Notwendige Bedingung ist aber auf jeden Fall, dass das Opfer tot ist. Wenn es noch herumläuft, ist die notwendige Bedingung für eine Verurteilung nicht gegeben, dann braucht man gar nicht weiter suchen.
Begründe Sie rechnerisch, dass eine beliebige Parabel keinen Wendepunkt haben kann?
Das ist eine Mathe Aufgabe die wir im Unterricht gestellt bekommen haben es geht um eine Funktion im 3 Grades.
Eine Funktion 3. Grades ist keine Parabel.
Was sind die Bedingungen für einen Wendepunkt?
Wendepunkte treten ja erst ab der Funktion 3. Grades auf! "Begründen" kann man es eigentlich nur mit der 2. Ableitung = 0 (Differentialrechnung) in der 11. Klasse!
Tipp: Was ist denn eine notwendige Bedingung dafür, dass an einer Stelle x ein Wendepunkt vorliegt?
Funktion 3 Grades? Parabel?
Sorry, aber das ist falsch. Du musst aus der Tatsache, dass f"(x) = 2a keine Nullstellen hat, schließen, dass es keine Wendepunkte geben kann, weil die notwendige Bedingung nie erfüllt ist.f'''(x) [f 3-strich] ist schnurzpiepegal, wenn schon f'' nie Null werden kann.
Es gibt durchaus Wendepunkte, bei denen die notwendige aber nicht die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Deshalb ist es falsch, daraus dass die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, auf die Nichtexistenz des Wenepunkts zu schließen.
Die richtige Antwort lautet:
Die 2. Ableitung bei einer quadratischen Funktion ist nie null. Demnach wird die notwendige Bedingung für Wendepunkte bei quadr. Funktionen auch nie erfüllt und demnach können quadratische Funktionen auch nie einen Wendepunkt besitzen.