[Mathe] Grad einer Funktion am Schaubild bestimmen?
Guten Morgen,
ich habe eine Frage zur Aufgabe 4.5 a) (grün markiert) im Bezug auf das Schaubild (grün markiert).
[Aufgabe]
„Die Aussage ist wahr, da Kp einen Sattelpunkt und zwei Extrempunkte besitzt. Andere Begründung: Wenn man Kp um eine Einheit nach unten verschiebt, hat die Funktion eine dreifache Nullstelle (Sattelpunkt) und zwei einfache Nullstellen.“
[Das verstehe ich nicht]Also bestimmt man den Grad einer Funktion nur mit Hilfe der Extremstellen und der Sattelpunkte? Also nur diese 2 Kriterien?
z.B. hat eine Funktion 2 Mal einen Sattelpunkt und 3 Extremstellen, dann ist sie von Grad 9, oder?
Das mit 1 Einheit nach unten verschieben, was ja in der Lösung steht, verstehe ich nicht so ganz. Wie weiß man, dass die Funktion genau eine Einheit nach unten verschoben werden muss, damit man den Grad der Funktion erkennen kann?
Wieso wird beim nach unten schieben angenommen, dass die Nullstellen der Funktion gleich der Grad der Funktion ist?
Gerne auch Beispiele zum erklären zeigen 🤓🙋♂️
Ich habe noch eine kleine weitere Frage zu einer anderen Aufgabe:
[Aufgabe]
[Lösung]
[Meine Berechnungen]
Ich komme hier auf den 14. Oktober 2019.
Rundet man hier die 42,64 nicht zu 43 auf?
Wenn ich 42 Tage dazuzählen würde zum 1. September 2019 komme ich auf den 13. Oktober 2019. Nun müssen noch 0,64 dazugezählt werden.
Ich weiß jedoch nicht welche Uhrzeit der Ausgangspunkt am 1. September 2019 ist.
Ist es jetzt hier der 13. oder der 14. Oktober 2019? Ich dachte zuerst, dass es der 14. Oktober 2019 sein muss, an dem die Hälfte der Smartphone-Besitzer das Betriebssystem 4.0 installiert haben.
4 Antworten
Grundsätzlich kann ein Polynom maximal nur so viele Nullstellen haben, wie der Grad ist.
Eine Gerade, z.B. y = 3x kann nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse haben. Mehr ist nicht möglich.
Eine Parabel kann maximal 2 Schnittpunkte haben, z.B. f(x) = x^2 - 4. Da wären die Nullstellen ±2.
Eine Funktion 3. Grades kann maximal 3 Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) haben usw.
Es geht hier aber um die maximale Anzahl von Nullstellen. Die Anzahl der Nullstellen kann aber unter bestimmten Bedingungen auch geringer sein.
Dabei sind es in der Regel zwei Bedingungen, die die Anzahl der Nullstellen reduzieren können.
1) Das Polynom hat eine Absolutglied (also einen Faktor) ohne x, wodurch der Graph der Funktion nach unten oder oben verschoben wird und dadurch die eigentlichen Nullstellen von der x-Achse wegwandern können, ohne dass sich dadurch der Grad der Funktion verringert oder die Form des Graphen verändert.
Beispiel:
f(x) = 5x^3 + x^2 -5x
Diese Funktion hat 3 Schnittstellen.
Wenn man die aber um 2 nach oben verschiebt, verschwinden 2 Schnittstellen mit der x-Achse und man hat nur noch eine. Der 3. Grad ändert sich dadurch aber nicht.
Die Größe des Absolutgliedes, hier +2, kann man immer direkt an der y-Achse ablesen. Das ist logisch, weil ja bei x = 0 alle anderen Glieder zu 0 werden und nur das Absolutglied übrig bleibt. In deinem Fall beträgt das Absolutglied +1, bedeutet also eine Verschiebung der Kurve um 1 nach oben.
Um die "Vernichtung" von Nullstelllen durch Verschiebung sozusagen rückgängig zu machen, löscht man das Absolutglied gedanklich und verschiebt den Graphen so, dass er durch den Ursprung geht. In deinem Beispiel verschiebt man ihn also um 1 nach unten. Dannn entspricht die abgelesene Anzahl der Nullstellen auch der maximal möglichen Anzahl der Nullstellen. Dann kommt man zu der Aussage: "Wenn man Kp um eine Einheit nach unten verschiebt (sodass der Graph durch den Ursprung geht), hat die Funktion eine dreifache Nullstelle (Sattelpunkt) und zwei einfache Nullstellen. (Mit 5 Nullstellen muss die Funktion daher mindestens 5. Grades sein)"
2) Man kann die (scheinbare) Anzahl der Nullstellen dadurch verringern, dass die x-Achse eine Tangente bildet. Dann liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt genau auf der x-Achse und die Nullstelle zählt doppelt. Liegt gar eine Sattelpunkt beim unverschobenen Graphen vor, zählt das als dreifache Nullstelle.
Zur anderen Begründung: "Die Aussage ist wahr, da Kp einen Sattelpunkt und zwei Extrempunkte besitzt. "
Das bezieht sich auf die Ableitung der Funktion. Die Ableitung der Funktion ist immer ein Grad niedriger als die Funktion selber. Extremstellen sind Nullstellen der Ableitung. Umgekehrt: eine Funktion muss immer mindestens einen Grad höher sein als die Zahl ihrer Extremstellen. Dabei zählt bei den Extremstellen ein Sattelpunkt doppelt. Damit können wir in dieser Aufgabe feststellen, dass die 1. Ableitung der gesuchten Funktion mindestens 4 Nullstellen haben muss, wovon eine doppelt ist, also mindestens 4 Grades ist, womit die eigentliche Funktion einen Grad höher, also mindestens 5. Grades sein muss.
Reicht es, die Methode mit der Verschiebung zu können? Die habe ich ganz verstanden.
Die müsste eigentlich reichen.
Warum bezieht sich hier etwas auf die Ableitung? Warum zählt bei Extremstellen ein Sattelpunkt doppelt und bei Nullstellen dreifach?
Mit den Ableitungen verringert sich nicht nur der Grad jeweils um 1, sondern auch die Anzahl der zu zählenden Nullstellen.
Sattelpunkt:
Funktion: 3-fache Nullstelle
1. Ableitung: doppelte Nullstelle
2. Ableitung: einfache Nullstelle (= Wendepunkt)
Extremstelle auf der x-Achse:
Funktion: doppelte Nullstelle
1. Ableitung: einfache Nullstelle
2. Ableitung keine Nulstelle
Zunächst, eine ganzrationale Funktion kann höchstens so viele Nullstellen haben wie ihre höchste Potenz angibt, also ihr Grad. Genau das ist also der explizite Zusammenhang. 5 Nullstellen -> Grad ist MINDESTENS 5. Durch das Verschieben längs der y-Achse ändert sich der Grad einer Funktion nicht, wohl kann sich aber die Zahl der Nullstellen ändern.
Dann gibt es weitere Kriterien (die ihr im Unterricht auch bestimmt hattet und die in den Unterlagen stehen). Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n-1 Extrempunkte und höchstens n-2 Wendestellen. Geht eine Funktion für x gegen -unendl und x gegen +unendl gegen unterschiedliche Vorzeichen, so ist ihr Grad ungerade. Geht sie gegen die gleichen Vorzeichen, so ist ihr Grad gerade.
Wichtig ist, dass du immer das "Mindestens" beachtest. Eine ganzrationale Funktion mit einer Nullstelle kann auch einen höheren Grad als 1 haben, das einfachste Beispiel ist f(x) = x^2 vom Grad 2 mit einer Nullstelle.
Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n-1 Extrempunkte und höchstens n-2 Wendestellen.
Kannst du mir das nochmal erklären?
Also kann ich nicht zur Berechnung des Grades, welches eine Funktion hat folgendes immer addieren:
- Sattelpunkt + 3
- Extremstelle + 1
Da wird es jetzt kompliziert. Zunächst mußt du dich auf EIN Kriterium konzentrieren.
Beispiel: Wie du dir am Funktionsgraph leicht klar machen kannst hat die Funktion vom Grad 4 f(x) = x^4 - 3x + 1 vier Nullstellen und drei Extrempunkte. D.h. du kannst nicht einfach zählen vier Nullstellen + 3 Extrempunkte = Grad mindestens 7. Die Kriterien für Extrempunkte und Sattelpunkte ziehst du heran, wenn die Funktion wenige Nullstellen hat, du aber vermutest sie hat einen höheren Grad. Dann kommt die Verschiebetechnik zum Tragen die in der Musterlösung erwähnt wird. Hier ist es dann wichtig zu erkennen wieviele Nullstellen maximal durch Verschieben erreicht werden können und was ihre Vielfachheit ist.
Bei der vorliegenden Funktion können eben höchstens 5 Nullstellen (zwei einfache und eine dreifache) erreicht werden. Merke: Ein Sattelpunkt erzeugt beim Verschieben eine dreifache Nullstelle, ein Extrempunkt (mindestens) eine doppelte.
Wieso haben sie es dann aber zuerst gezählt in der Lösung und einmal durch verschieben gelöst?
Warum kann man nicht immer die Sattelpunkte als 3 zählen und Extremstellen als 1, was dann zusammen addiert den Grad der Funktion ergibt?
Wieviele Sattelpunkte und Extremstellen findest du bei der Funktion f(x) = x^4 + 1?
Da sehe ich eine Extremstelle bzw. einen Sattelpunkt. Aber solche Schaubilder werden ja in der Prüfung nicht drankommen, denke ich.
Bei f(x) = x^4 + 1 ein Sattelpunkt? Wo denn das? Fazit: Du machst es dir schlicht zu einfach. Bitte sichte zunächst mal deine Unterlagen.
Zur Ergänzung:
Genau genommen wird die 50%-Schwelle im Laufe des Nachmittags des 13. Oktobers überschritten.
Um noch genauer zu sein:0,64 * 24 h = 15,36 h = 15 h 22 min
Also haben ab 13. Oktober 15:22 Uhr mehr als die Hälfte das 4.0 installiert. Die Schwelle wird im Laufe des 13, Oktobers überschritten, weshalb das wohl die Antwort in der Musterlösung ist. Als Korrekor würde ich allerdings auch den 14. durchgehen lassen.
Also bist du von 00:00 Uhr am 01.09.2019 ausgegangen? Okay 💚
Danke 🙏
Da muss man gar keine Uhrzeit festlegen. Der gesamte 1. September ist t = 0. Damit wäre t = 0,000001 schon der 2. September um 00 Uhr irgendwas.
Also vom Verlauf ist sie vin ungeraden Verlauf, aus 2 Extrema plus 1 Satelpunkt folgt das f’ drei Nullstellen hat und damit f mind Grad 4
Mindestens Grad 5 sollte begründet werden. Laut Lösung ist sie mindestens vom Grad 5.
Es gibt KEINE besseren Antworten als deine! 💚 Unglaubliche Antwort <3
Extrem verständlich! :-)
Warum bezieht sich hier etwas auf die Ableitung? Warum zählt bei Extremstellen ein Sattelpunkt doppelt und bei Nullstellen dreifach?
Reicht es, die Methode mit der Verschiebung zu können? Die habe ich ganz verstanden.
Aber diese Methode werde ich bestimmt auch noch verstehen. 🙋♂️