Polynomfunktionen ?

Aufgabe :

Geben sie 2 Funktionsterme für die gesuchte Polynomfunktion an, wenn möglich.

a) die polynomfunktion vom 3 Grad hat die einfachen nullstellen -2; 3 und 5. Ihr Schaubild schneidet die y Achse im Punkt P(0/10)

b) die Funktion vom Grad 4 hat die doppelte nullstelle x=3. Ihr Schaubild ist achsensymetrisch zur y Achse

Wie löst man diese aufgabe?

Danke im voraus

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Setze mit den Informationen über die Lage der Nullstellen eine entsprechende Linearfaktorzerlegung an.

a)

Aufgrund der Nullstellen ist die Funktionsgleichung gegeben durch

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x-5\right)$

für einen Wert a ≠ 0. Den Wert a kann man mit dem Punkt P(0|10) ermitteln. Denn dementsprechend soll f(0) = 10 sein.

$a\cdot\left(0+2\right)\cdot\left(0-3\right)\cdot\left(0-5\right)=10$ $\Leftrightarrow\ \ a\cdot30=10$ $\Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{3}$

Demnach muss der Funktionsterm einer entsprechenden Polynomfunktion gleich

$\frac{1}{3}\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x-5\right)$

sein.

============

b)

Da das Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll und die Funktion eine doppelte Nullstelle bei x = 3 haben soll, muss die Funktion auch eine doppelte Nullstelle bei x = -3 haben. Für eine entsprechende Funktion 4-ten Grades ist die Funktionsgleichung durch

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)^2$

mit einem Wert a ≠ 0 gegeben. Da nichts weiter gefordert wurde, kann man nun einfach zwei Werte für a wählen, um entsprechende Funktionsterme zu erhalten. Für a = 1 bzw. a = 2 erhält man beispielsweise die folgenden Funktionsterme:

$\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)^2$

$2\cdot\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+3\right)^2$

Comments

[TheReaper2]

Danke