Funktion 3. Grades mit nur 2 Nullstellen?
Wenn eine Funktion 3. Grades die x-Achse NUR in x=-1 & x=3 schneidet, wie kann ich da 2 mögliche Funktionsterme bestimmen? Hat eine Funktion 3. Grades nicht eigentlich immer 3 Nullstellen ???
4 Antworten
Das ist eigentlich komplett richtig...
Laut dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es für ein Polynom 3. Grades immer 3 Nullstellen (n. Grades -> n Nullstellen).
Allerdings gibt es Fälle in denen DU dich (als Schüler) nur im Bereich der reellen Zahlen bewegst (d.h. alle Zahlen, die Du dir vorstellen kannst, außer unendlich und PI) und dort auch zwei Nullstellen findest. Die Erklärung ist eigentlich relativ simpel: Die dritte Nullstelle liegt nicht im Bereich der reellen Zahlen, sondern im Bereich der komplexen Zahlen.
Hier ein kleines Beispiel:
f(x)=x^2+1
Die Funktion stellt ein Polynom zweiten Grades dar und wenn Du die Nullstellen ausrechnen willst ist dein Ansatz:
0=x^2+1.
Anschließend -1 rechnen und es ergibt sich:
-1=x^2.
Jetzt hast Du ein Problem...
Du kannst nämlich (im Bereich der reellen Zahlen) keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Das heißt also, dass die Funktion keine Nullstellen hat.
Erklärung: Eine Funktion zweiten Grades stellt eine Normalparabel dar (hier: eine nach oben geöffnete, da der Koeffizient vor x^2 positiv ist) und ist um 1 (wegen +1) nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt (tiefster Punkt der Parabel) liegt nun bei (0/1) und somit ist klar, dass der Graph der Funktion f niemals die x-Achse schneiden kann.
es gibt einfache..doppelte oder sogar dreifache Nullstellen :)
z.B.
- f(x)=(x+1)^2(x-3)
- f(x)=(x+1)(x-3)^2
:D kannst natürlich auch den Streckfaktor a nehmen ;)
Eine Funktion 3.Grades kann bis zu 3 Nullstellen haben, muss aber nicht! z.b. ist um Z nach oben verschoben..dann ist halt nur noch eine ;)
natürlich, das machst ja nichts, für Nullstellen muss die Funktion entweder die X-Achse schneiden oder berühren :) Das Video ist ja nicht umsonst da :) Durch den Verlauf einer einfachen/doppelten/dreifachen NS kann man immer die Funktiongleichung bestimmen ;) Mit einem Punkt kannst dann noch a bestimmen und gut :)
dreifache schneiden auch und berühren heißt auch nullstelle
Falls du die Kurve 3. Grades bestimmen sollst, brauchst du ohnehin 4 Angaben. Du hast schon eine weitere, wenn dir mitgeteilt wird, welche dieser Nullstellen eine zweipunktige Berührung hat. Denn das muss dann ein Extremwert sein; an dieser Stelle ist die 1. Ableitung dann Null.
naja also in der Aufgabenstellung steht: " Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse nur in x= -1 und x= 3. Bestimmen Sie zwei mögliche Funktionsterme. ... das sind ja keine doppelte oder 3 - fache NS also habe ich doch nur 2 punkte ?
Das ist einfacher, als ich anfangs dachte. Du weißt sicher, dass die Funktionsgleichungen in ihre Linearfaktoren zerfallen. Da hast du jetzt tatsächlich 2 Möglichkeiten. Du erklärst entweder x=-1 oder x=3 zur doppelten Nullstelle. Das ergibt 2 Funktionen:
- (x+1)² (x-3)
- (x+1) (x-3)²
Wenn du die ausmultiplizierst, hast du zwei Funktionsterme angegeben. Beliebig viele bekommst du, wenn du eine der beiden oder beide noch mit Konstanten multiplizierst.
ach 😓 danke 😅 da habe ich wohl zu kompliziert gedacht 😑 vielen dank :D
kann man da nicht einfach (x+1)^2(x-1); (x-2)^2(x+2) etc. nehmen
aber doppelte oder dreifache NS berühren die x-achse doch ?:/