x^3-6x^2+9x brauche eure Hilfe dringend?
Hallo :) ich benötige Hilfe bei der Aufgabe :/ ich suche evtl. Sattelpunkt und wie viele Nullstellen diese Funktion hat. (Kann ja maximal 3 haben, aber wie viele hat sie tatsächlich?) meine letzte Frage wäre: ist diese Funktion stetig??
danke für eure Hilfe :)
3 Antworten
Nullstellen
f = 0
x ausklammern
x1 = 0
Klammerinhalt = 0
pq-Formel
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Sattelpunkt
f ' ' = 0
x-Wert berechnen und in f ' einsetzen und gucken, ob auch 0 rauskommt.
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stetig: Ja
die Funktion hat keinen "Sprung" ; und ist ganz rational (kein x im Nenner)
f(x) = x³-6x²+9x = x * (x² - 6x + 9) = x * (x-3)²
Wann wird f(x) = 0 ? Dann, wenn eines der Faktoren 0 wird.
f(x)' = 3x² -12x + 9 = 0 = x² -4x + 3 = (x² - 4x + 4) - 1 = (x-2)² - 1 --> x = 3 oder x= 1
f(x)'' = 6x - 12, f(3) = 6 (Minimum), f(1) = -6 (Maximum)
Stetig: Alle Faktoren können stetige Funktionen abbilden, also ist auch f stetig.
Hallo,
klammere ein x aus:
f(x)=x*(x²-6x+9).
Den Term in der Klammer kannst Du nach der zweiten binomischen Formel zu (x-3)² umformen.
f(x)=x*(x-3)² hat eine Nullstelle bei x=0 und eine doppelte Nullstelle bei x=3.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank :) aber heißt doppelte nullstelle, dass die Funktion insgesamt 3 nullstellen hat?
Zwei Nullstellen sind so nah zusammen, daß sie zu einer verschmolzen sind.
Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht bei x=3, sondern er berührt sie.
Also die Funktion hat 2 reelle nullstellen ?
Ja, genau. Es gibt nur zwei Lösungen für f(x)=0, nämlich x=0 oder x=3.
Nochmal kurz eine Frage: wie sieht es mit dem Sattelpunkt aus, das ganze ist eine MC Frage und es steht zur Auswahl, dass die Funktion an der Stelle (2,2) einen Sattelpunkt hat??
Ich habe jetzt angekreuzt als richtig: die Funktion hat zwei extremstellen: lokales Maximum an (1,4) und lokales Minimum an (3,0), Funktion hat einen Wendepunkt bei (2,2), die Funktion ist stetig. Weiter zur Auswahl standen eben noch Sattelpunkt bei (2,2) und „hat 3 reelle Nullstellen“
Eine doppelte Nullstelle ist gleichzeitig immer ein Minimum oder Maximum.
Da eine Polynomfunktion 3. Grades punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist, muß sie demnach entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extremstellen besitzen.
Super, das heißt, da sie zwei extremstellen hat, hat sie keinen Sattelpunkt?
sind meine oben aufgeführte Antworten denn so richtig dann?
Richtig.
Die Ableitung ist eine Polynomfunktion zweiten Grades, die höchstens zwei Nullstellen haben kann. Wegen der Punktsymmetrie der Funktion dritten Grades können die Extremstellen nur zu zweit auftreten (ein Maximum, ein Minimum).
Bei einem Sattelpunkt hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle; da bleibt für einen Extrempunkt keine mehr übrig.
Hat die zweite Ableitung überhaupt keine Nullstelle, hat die Funktion dritten Grades lediglich einen Wendepunkt.
Vielen Dank €:) nur wie kommst du auf stetig? Woran sieht man das?