Frage von so000, 50

Wie könnte ich diese Aufgabe widerlegen/begründen?

Aufgabe: Begründen Sie oder widerlegen Sie mit einem Gegenbeispiel
a) Jede ganzrationale Funktionen  5.Grades hat eine Nullstellen
b) Es gibt ganzrationale Funktionen 2. Grades , die nur eine Nullstelle haben.
c) jede ganzrationale Funktionen  3.Grades hat drei Nullstellen.
d) Es gibt ganzrationale Funktionen 3.Grades ,die drei Nullstellen haben.

Kann jemand ein Weg mir geben , was ich schreiben soll/ bzw. wie ?
Danke im Voraus:)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von HanzeeDent, 17

Voraussetzung: Dmax = IR

a) Wenn die Aussage **mindestens** eine Nullstelle suggeriert:

Wahr, da der Grenzwert von x->unendlich gegen +-unendlich strebt, währen x->-unendlich gegen -+unendlich strebt und die Funktion in ganz IR definiert ist.

Wenn **genau** eine Nullstelle gemeint ist:

Falsch, Gegenbeispiel: f(x) = x^5+x^4

b) Wahr, einfaches Beispiel:

f(x) = x^2

c) Falsch, Gegenbeispiel: f(x) = x^3

d) Wahr, Gegenbeispiel: x^3-x

Kommentar von so000 ,

Aber b) ist es nicht so dass x^2 eine doppelte Nullstelle hat ? Oder bei c x^3 eine dreifache ? Ist dann die Aussage nicht wahr ?

Kommentar von HanzeeDent ,

Es gibt einen Unterschied zwischen Wertigkeit einer Nullstelle und Anzahl der Nullstellen.

Die Anzahl beschreibt, wie viele verschiedene Werte es gibt, bei der die Funktion Null wird.

Die Wertigkeit bezieht sich auf eine spezifische Nullstelle und beschreibt, "in welcher Potenz" sie vorliegt.

Kommentar von so000 ,

Ok hab es verstanden , mein Fehler 😅

Kommentar von so000 ,

Vielen Dank :)

Kommentar von HanzeeDent ,

Gerne^^

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 14

a) Überleg mal, was mit x⁵ passiert, wenn x > 0 ist. Und was ist, wenn x < 0 ist. (Jeweils eine Zahl reicht schon). Denn beide Stellen müssen zwangsläufig vorkommen.

b) Guck dir mal die Wurzel in der Lösung der p,q-Formel an.

c) Prüf mal einfach x³. (Ähnlichkeit mit -a-.) Zähl die Nullstellen!

d) Da brauchst du nur eine zu finden. Tipp: Denk mal an die Linearfaktoren!

Wenn noch Fragen sind, schreib einen Kommentar.

Antwort
von gfntom, 18

Sinn dieser Aufgaben ist es, dass DU ein Gefühl für Ganzrationale Funktionen bekommst. Wenn dir jemand die Lösung präsentiert, ist das kontraproduktiv.

Stelle zunächst deine Vermutungen an und schreibe hier, wieso du das vermutest. Dann kann man darüber reden!
Zumindest zu ein oder zwei der Behauptungen solltest du doch eine Meinung haben, oder?

Kommentar von so000 ,

a)Die Aussage entspricht der Wahrheit , da eine Funktion 5.Grades maximal 5 Nullstellen besitzt und nicht mehr. Also kann es auch eine besitzen. 
Ist das dann richtig ?

Kommentar von gfntom ,

Warum kann sie nicht 0 Nullstellen besitzen? Dann wäre die Aussage falsch.

Antwort
von Physikus137, 11

a) ∀ x < 0: x⁵ < 0, ∀ x > 0: x⁵ > 0. Somit hätte y(x) = x⁵ schonmal eine Nullstelle. Jetzt ist die Frage, 

∃ x<0: x⁵ + a₄ x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ < 0? 

b) z.B. wäre y(x) = (x-2)² so ein Polynom

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