Gibt es Funktionen dritten Grades, die genai ein lokales Extremum haben?

Die Ableitung von ganzrationalen Funktionen dritten grades ist eine Parabel. Die Nullstellen dieser Parabel stellen nun die Extremstellen der Ursprünglichen Funktion dar, wobei ein Wechsel von dem negativen in den positiven Bereich, oder umgekehrt, mindestens ein lokales Maximum sein muss.

Wie man sich leicht vorstellen kann, hat die Parabel entweder keinen oder zwei Vorzeichenwechselnde Stellen an der X-Achse (d.h. keine oder zwei Extrema in der Funktion dritten grades).

Würde man den Scheitelpunkt der Parabel exakt auf die X-Achse legen, so gibt es kein Vorzeichenwechsel, d.h. es ist streng genommen kein Extrema. In diesem Fall ist es ein Sattelpunkt.

Es könnte weniger lokale Extrema geben, wenn deine Funktion in einem gewissen Intervall begrenzt wird (dann spricht man unter Umständen aber eigentlich von Randextrema).

Nein.

Alle Fkt 3ten Grades, die zu einer Ableitung der Form f(x) = a * ( x - b )² führen , besitzen nur einen besonderern Punkt : Einen Sattelpunkt. genau ein HP oder TP ist nicht möglich .

Nein, ganzrationale Funktionen dritten Grades haben entweder zwei Lokale Extrema oder einen Sattelpunkt oder gar keine kritischen Stellen.