Liegt ein lokales Extremum vor, wenn die Tangentensteigung 0 ist? Was heißt lokal überhaupt?
Bitte bedenkt, dass ich nicht die hellste Kerze bin, was Funktionen etc angeht und ich nicht mit irgendwelchen komischen Fachwörtern umgehen kann, deswegen wäre eine leichte Erklärung sehr hilfreich.
Als würdet ihr es einem Kind erklären.
Danke schon mal im Voraus :D
8 Antworten
Stell Dir eine Funktion als nebeneinander liegende Berge und Täler vor, wie z.B. bei der Sinus-Funktion, aber nicht so exakt periodisch und mit unterschiedlichen Höhen und Tiefen. Zeichne es auf !
Legt man an die Spitze eines Berges die Funktionstangente an, dann ist die Steigung dieser Tangente an dieser Stelle 0. Gleiches gilt aber auch am tiefsten Punkt eines Tales.
Wird die Steigung der Tangente 0, könnte also entweder ein lokales Maximum (Bergspitze) oder ein lokales Minimum (Talsohle) der Funktion vorliegen.
Warum nur lokal ? Na, weil es nach der einen Bergspitze erstmal bergab ins Tal geht, aber dann wieder hoch und noch höher als vorher. Die Steigung der Tangente könnte also mehrmals 0 werden.
Wird die Steigung der Tangente 0, weisst Du also nur, dass Du gerade auf einer Bergspitze oder in einer Talsohle stehst, aber es könnte sein, dass es in der Umgebung noch höhere Berge oder noch tiefere Täler gibt.
Auch auf die Gefahr, Dich noch mehr zu verwirren, weisst Du bei einer Steigung der Tangente 0 nicht mal, ob Du wirklich auf einem Berg oder in einem Tal stehst. Stell Dir dazu den Ansteig auf einen Berg vor, der in ein völlig flaches Plateau mündet. Auf diesem Plateau ist die Steigung der Tangente auch wieder 0, aber danach geht es nicht wieder abwärts, sonder weiter aufwärts. Dann handelt es sich nicht mal um lokales Minimum oder Maximum, sondern lediglich um eine "flache Stelle" im Rahmen einer Berg- oder Talwanderung.
Um all diese Fälle zu unterscheiden, braucht man weitere Hilfsmittel (zweite Ableitung). Aber ich glaube, es reicht erst mal.
Es muss nicht sein, denn ein ein Sattelpunkt hat auch eine waagrechte Tangente und Sattelpunkte sind Wendepunkt und keine Extrempunkte.
Ein lokales Maximum bedeutet, dass noch andere Maxima da sind mit einem größeren y-Wert als der des lokalen Maximums. Bei Minimum eben einen kleineren y-Wert als der des lokalen Minimums.
Nicht zwingend. Die Funktion f(x)=x³ hat an der Stelle x=0 eine Steigung von 0, sie ist aber kein Extremum.
Lokal bedeutet einfach nur, dass dieser Extrempunkt zwar in einem gewissen Bereich extrem ist, irgendwo in der Funktion aber ein noch extremerer Punkt existiert.
verstehe ich es richtig, dass global sich auf die komplette Funktion bezieht und lokal nur eine Parabel davon ist?
Global heißt: Es gibt überhaupt keine Stelle, an der der Funktionswert höher ist als an der betrachteten Stelle (globales Maximum) bzw niedriger (globales Minimum). Lokal: in einer evtl. auch sehr kleinen Umgebung gibt es keine solche Stelle. Das muss nicht so aussehen wie eine Parabel, das kann auch eine ganz andere Form haben.
Eine Stelle x ist ein Lokales Extremum wenn es eine positive Zahl d gibt (die kann auch sehr klein sein), sodass für das Intervall (x-d,x+d) (dieses Intervall ist dann eine Umgebung um x und wird eigentlich noch mit dem Definitionsbereich geschnitten) alle Funktionswerte größer gleich (bzw kleiner gleich) dem Funktionswert an der Stelle x ist.
Ist die Funktion an x Differenzierbar (also hat die Funktion an der Stelle eine Ableitung bzw keinen knick) und ist ein lokales Extremum, so muss die Ableitung (Steigung) dort 0 sein.
Es bedeutet nicht dass die Funktion eine Extremstelle hat, wenn die Ableitung 0 ist, ein einfaches Gegenbeispiel ist die Funktion x^3, die Ableitung an der Stelle x=0 ist 0, jedoch ist für negative X der Funktionswert kleiner als an der an der Null und für positive immer Größer (somit ist da kein Extremum)
Folgende Stellen sind mögliche lokale extremstellen:
Stellen wo die Ableitung 0 ist
Stellen wo keine Ableitung existiert bzw die Funktion einen Sprung hat (z.b f(x)=|x| an x=0)
Stellen die sich am Rand des definitionsbereiches befinden, wenn der Rand im Definitionsbereich ist (Beispiel die Funktion f(x)=X, definiert auf [0,1] hat bei x=0 ein lokales Minimum, und bei x=1 ein lokales Maximum)
Wenn jedoch die Ableitung an der Stelle 0 ist und die Ableitung an der Stelle das Vorzeichen wechselt (also kurz vorher positiv und kurz nachher negativ oder umgekehrt) dann muss an der Stelle ein Extremum sein.
Nein, Steigung 0 heisst, dass die Kurve flach ist. Das bedeutet z. B. in einem Weg-Zeit Diagramm, dass du still stehst. Wenn die Steigung positiv ist, bewegst du dich vorwärts. Wenn sie negativ ist, rückwärts. Wenn du dich vorwärts bewegst, anhältst und dann weiter vorwärts gehst, hast du beim Stillstehen Steigung 0, aber kein lokales Maximum.
Nur zur Korrektur: Jedes globale Extremum ist auch ein lokales, aber nicht jedes lokale ist auch global. Global ist die weitergehende Eigenschaft, global und lokal schließen sich nicht aus.