b)

Allgemeine Parabel mit Scheitel (Sx,Sy) = (4, 5.84):

f(x) = a*(x - Sx)² + Sy

f(x) = a*(x - 4)² + 5.84

Ausserdem gilt:

f(0) = 2

a*(-4)² + 5.84 = 2

daraus folgt a = -6/25

f(x) = -6/25*(x - 4)² + 5.84 = -6/25*x² + 48/25*x + 2

c)

f(8) = -6/25*8² + 48/25*8 + 2 = 2 [m]

d)

f(x) = 0 ?

-6/25*x² + 48/25*x + 2 = 0 -->

-6*x² + 48*x + 50 = 0 -->

x² - 8*x - 50/6 = 0

Lösungen der quadratischen Gleichung mit pq-Formel:

x1 = 4 - sqrt(73/3), x2 = 4 + sqrt(73/3) ≈ 8.93 m

x1 entfällt, weil negativ

a)

H0: p = 0.04, H1: p > 0.04

rechtsseitiger Test, gesucht wird ein möglichst kleines k mit:

p(X >= k) <= 0.05

Angenommen die Lösung lautet k=8

H0 wird angenommen: k € {0,1,..7}  

H0 wird abgelehnt: k € {8,9,...,100}

H0 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt, obwohl richtig. (Fehler 1.Art). Das gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass H0 wahr ist.

e)

Vermutlich will der Fragesteller auf den Fehler der 2. Art hinaus ("Alternativtest"). In diesem Fall wird H1 als richtig angenommen mit H1: p = 0.08

Angenommen, man belässt den Annahme- und Ablehnungsbereich, dann sieht die Sache wie folgt aus (alles mit BNP(100, 0.04) und BNP(100, 0.08) gerechnet).

Es geht um den Fall unten rechts, d.h. man lehnt die Lieferung ab und trifft die richtige Entscheidung (unter der Annahme H1 sei wahr). Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 55%. Um die geforderten 30% zu erreichen, muss man den Ablehnungbereich verkleinern, z.B. auf {10,11,..100}. Die passende Grenze ist zu berechnen.

f)

Im Fall einer Änderung des Annahme- und Ablehnungsbereichs ändert sich der Fehler der 1. Art. Das ist dann die neue Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese wird zwar kleiner, dafür aber der Fehler der 2. Art grösser.

6x * e^(3x+2) - 2 * e^(3x+2) =

(6x - 2) * e^(3x+2) =

f(x)*g(x)

mit

f(x) = 6x - 2

g(x) = e^(3x+2)

f'(x) = 6

g'(x) = 3*e^(3x+2)

f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x) = 18*x*e^(3x+2)

z³ = 1/8

z kann man auch so schreiben: |z| * e^(i*φ)

(|z| * e^(i*φ))³ = 1/8

|z|³ * (e^(i*φ))³ = 1/8

Daraus folgt

|z| = 1/2 und (e^(i*φ))³ = 1

Lösung:

φ*3 = 2*π*k für k=0,1,... --> φ = 2/3*π*k

φ1 = 0 für k = 0

φ2 = 2/3*π für k = 1

φ3 = 4/3*π für k = 2

φ4 = 6/3*π für k = 3

Die erste und die letzte Lösung fallen zusammen (und weitere sind periodisch), deshalb gibt es drei Lösungen

z = 1/2 * (cos(0) + i*sin(0))

z = 1/2 * (cos(2/3*π) + i*sin(2/3*π))

z = 1/2 * (cos(4/3*π) + i*sin(4/3*π))

e^(i*φ) = cos(φ) + i*sin(φ)

φ = π/6 = 30°

Der Realteil lautet cos(π/6) = sqrt(3)/2

Der Imaginärteil lautet sin(π/6) = 0.5

Das war mal eine Verarscher-Frage bei 9Live:

39 + 1 + 1 + 1 = 42 (mit der Behauptung 3 und 9 seien "Zahlen")

oder

39 + 1 + 1 + 1/1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)

oder

39 + 1 + 1 + 1*1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)

u = (x,y,z)

v = (s*x, s*y, s*z)

u*v = s*x²+s*y²+s*z² = s(x²+y²+z²)

|u| = sqrt(x²+y²+z²)

|v| = sqrt(s²x²+s²y²+s²z²) = s*sqrt(x²+y²+z²)

|u|*|v| = sqrt(x²+y²+z²) * s*sqrt(x²+y²+z²) = s(x²+y²+z²)

Der Graph zeigt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x). Der Erwartungswert der entsprechenden Zufallsvariablen X ist das Integral



über das gesamte Definitionsintervall. Das entspricht nicht zwingend dem Maximum der Dichtefunktion. Der Erwartungswert liegt deshalb nicht immer am Maximum der Dichtefunktion.

Net Benefit = Total Benefits - Total Costs

NB(x) = 108*sqrt(x) - x²

NB'(x) = 54/sqrt(x) - 2x

NB'(x) = 0 für x = 9

NB(9) = 243

Der Zaun besteht nur aus 3 Seiten (b = Breite, t = Tiefe):

Zaunlänge = 2*t + b

Fläche : f(b,t) = b*t

Bedingung: f(b,t) = max

Nebenbedingung 2*t + b = 100

Daraus folgt b = 100 - 2*t, dann ist f(b,t) nur noch von t abhängig:

f(t) = b*t = (100 - 2*t)*t = 100t -2t²

f'(t) = 100 - 4t

f''(t) = -4

Extremstellen suchen:

f'(t) = 0 ?

100 - 4t = 0 für t = 25

Das ist ein Maximum, denn f''(25) < 0

t = 25

b = 50

Die Fläche beträgt 25*50 = 1250 m²

Der Verlauf der prozentualen Deckfläche an Seerosen lässt sich so modellieren:



t in Tagen, t € [0,48]

Die grosse Pyramide hat die Grundfläche von 10 x 10 cm und eine Höhe von 10 cm.

Die kleine Pyramide mit Wasser hat eine Höhe von 5 cm.

Aufgrund des Strahlensatzes ist die Grundfläche der kleinen Pyramide 5 x 5 cm.

Das Volumen der kleinen Pyramide beträgt dann 1/3 * a² * h = 125/3 cm³

Diese Menge an Wasser ist auf eine Fläche von 10x10 cm gefallen. 10x10 cm sind der hunderste Teil eines Quadratmeters. Der Niederschlag pro Quadratmeter beträgt 125/3*100 ~ 4166 cm³ ~ 4.2 Liter.

H0: p = 0.2

H1: p > 0.2

H0 wird abgelehnt, wenn zuviele Freikarten ausgegeben werden --> rechtsseitiger Test

Gesucht wird ein möglichst grosses k mit:

p(X >= k) <= 0.05

Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:

p(X >= 11) ~ 0.1608

p(X >= 12) ~ 0.0875

p(X >= 13) ~ 0.0432

Es müssten mindestens 13 Freikarten ausgegeben werden, um H0 abzulehnen.

10 Freikarten führen nicht zur Ablehnung von H0.

####

Nun soll die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha gesucht werden, für die auch 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen:

p(X >= 10) <= alpha

Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:

p(X >= 10) ~ 0.2682

Wenn mindestens 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen, muss man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha ~ 26.8 % rechnen.

####

Im Fall der Binomialverteilung B(40,p) ist P(X >= 10) die Summe von

P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) + ... + P(X=39) + P(X=40) mit



Die kumulierte Binomialverteilung beherrschen viele Taschenrechner. Es gibt auch viele Online-Rechner im Netz. Man muss das also nicht manuell ausrechnen. Falls doch, gilt ja auch:

P(X >= 10) = 1 - P(X <= 9)

In diesem Fall müsste man "nur" folgende Summe berechnen:



f(x) = -0.2x² - 3x + 1.2

f'(x) = -0.4x - 3

Ein Steigungswinkel ergibt sich z.B. aus der Steigung einer Funktionstangente am Punkt (x,f(x)). Wählt man als x z.B. die positive Nullstelle von f(x): x1 ~ 0.389867, dann beträgt die Steigung der Tangente an dieser Nullstelle f'(x1) ~ --3.1559

Der Steigungswinkel der Tangente ist dann arctan(-3.1559). Der entsprechende Wert in Grad hängt von der Drehrichtung ab und auf welche Achse man 0 Grad bezieht.

Der Winkel im mathematischen Sinn beträgt pi + arctan(-3.1559) ~ 107.58°

Bei der Definition der Beta-Funktion hat sich dort ganz am Anfang ein Schreibfehler eingeschlichen, der Integrand lautet natürlich:



Im folgenden eine alternative Darstellung, eventuell wird das klarer:

Für x,y > 0 spaltet man das Integral wie folgt auf:

Die beiden Integrale der Summe werden im folgenden Integral 1 und 2 genannt.

#####

{x,y} ≥ 1 :

Bei den Integranden handelt es sich um eine beschränkte Funktion mit dem Maximum 1, den 0 <= t <= 1 und 0 <= (1-t) <= 1 und damit existiert das Integral.

#####

0 < {x,y} < 1 :

• Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:



Das Maximum der Basis ist 2 und der Exponent (1-y) > 0. Deshalb liegt das Maximum dieses Terms bei 2 und kann als Faktor vor das Intervall gezogen werden. Somit reduziert sich das Integral 1 wie folgt:



• Integral 2, d.h. t € [1/2, 1]



Hier gilt die gleiche Abschätzung wie eim Integral 1. reduziert sich das Integral 1 wie folgt:



Weil die beiden uneigentlichen Integrale

für 0 < {x,y} < 1 konvergieren, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch die Beta-Funktion für {x,y} > 0.

#####

x < 0 :

Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:



Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 0, und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 1.

y < 0 :

Integral 2, d.h. t € [1/2 , 1]:



Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 1 und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 2.

Unter der Voraussetzung, dass α den Winkel einer Seitenfläche zur Grundfläche meint:

a/2*tan(α) = h

hs = h/sin(α)

Die Fläche einer Seite beträgt dann:

1/2*hs*a = 1/2*(h/sin(α))*a = 1/2*(a/2*tan(α)/sin(α))*a = a²/4 * 1/cos(α)

Davon gibt es 4 Seiten: a²/cos(α)

Dazu noch die Grundfläche: a² + a²/cos(α)

3.4² + 3.4²/cos(38°) ~ 26.23 Einheiten

phi1 = arctan(sqrt(3)/-1) + 180° = 120°

phi2 = arctan(-sqrt(3)/-1) + 180° = 240°

Die Wurzel aus phi1 hat die beiden (Winkel-)Lösungen:

120°/2 = 60° und 60° + 360°/2 = 240°

Die Wurzel aus phi2 hat die beiden (Winkel-)Lösungen:

240°/2 = 120° und 120° + 360°/2 = 300°

Die Aufgabe lässt zu wünschen übrig, denn es fehlt die Angabe, auf welchen Zeitraum die Bankzinsen bezogen werden sollen.

Sind es drei Monate, dann beträgt der Zins 6.225%

Ist es ein Jahr, dann beträgt der Zins das vierfache, nämlich 24.9%

Aber auch nur dann, wenn die Bank fix mit 360 Zinstagen pro Jahr rechnet.

Es muss gelten 0 <= p <= 1, ansonsten wird das Argument der Wurzel negativ. Das hilft aber nicht bei der Lösung der Gleichung.

1000*p + 1.96 * sqrt(1000*p*(1-p)) = 45

1.96 * sqrt(1000*p*(1-p)) = 45 -1000*p

beide Seiten quadrieren:

1.96² * 1000 * p * (1-p) = (45 - 1000*p)²

-3841.6*p² + 3841.6*p = 2025 - 90000*p + 1000000*p²

1003841.6*p² - 93841.6*p + 2025 = 0

quadratische Gleichung mit den Lösungen:

p1 ~ 0.0337993

p2 ~ 0.0596831

Die originale Gleichung wird nur durch p1 gelöst. p2 entsteht nur durch die Quadrierung der Gleichung.

Mindestens eine der beiden Augenzahlen ist eine 4: 11 von 36 möglichen Fällen.

p(Gewinn) = 11/36

p(Verlust) = 25/36

aus Sicht von Alberto : E(X) = 11/36*2 + 25/36*-2 = -7/9

aus Sicht von Ben: E(X) = 11/36*-2 + 25/36*2 = 7/9

Das Spiel ist nicht fair, weil der Erwartungswert für Ben höher ist.