[Mathe] Wie berechnet man die Irrtumswahrscheinlichkeit?

Guten Abend,

ich benötige noch etwas Hilfe dabei, um zu verstehen, wie man hier die Irrtumswahrscheit berechnet, für die Christian recht hätte.

Ich verstehe die Rechnung im Lösungsvorschlag leider nicht.

Ich freue mich sehr auf eure ausführlichen Erklärungen.

Answer 1

[Rammstein53]

H0: p = 0.2

H1: p > 0.2

H0 wird abgelehnt, wenn zuviele Freikarten ausgegeben werden --> rechtsseitiger Test

Gesucht wird ein möglichst grosses k mit:

p(X >= k) <= 0.05

Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:

p(X >= 11) ~ 0.1608

p(X >= 12) ~ 0.0875

p(X >= 13) ~ 0.0432

Es müssten mindestens 13 Freikarten ausgegeben werden, um H0 abzulehnen.

10 Freikarten führen nicht zur Ablehnung von H0.

####

Nun soll die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha gesucht werden, für die auch 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen:

p(X >= 10) <= alpha

Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:

p(X >= 10) ~ 0.2682

Wenn mindestens 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen, muss man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha ~ 26.8 % rechnen.

####

Im Fall der Binomialverteilung B(40,p) ist P(X >= 10) die Summe von

P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) + ... + P(X=39) + P(X=40) mit

$P\left(X=k\right)\ =\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}$

Die kumulierte Binomialverteilung beherrschen viele Taschenrechner. Es gibt auch viele Online-Rechner im Netz. Man muss das also nicht manuell ausrechnen. Falls doch, gilt ja auch:

P(X >= 10) = 1 - P(X <= 9)

In diesem Fall müsste man "nur" folgende Summe berechnen:

$P\left(x\ \le\ 9\right)\ =\ \sum_{k=0}^9\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{n-k}$

Comments

[maennlich2002]

Ich verstehe leider noch nicht genau, wieso man P(X>=10) berechnen muss… Das ist hier meine Schwierigkeit 🤯 Vielleicht hast du ja Lust, es mir noch ein wenig ausführlicher zu erklären 🙋‍♂️:-)

[Rammstein53]

@maennlich2002

Siehe Ergänzung meiner Antwort.

[maennlich2002]

@Rammstein53

Wie man das im WTR berechnet und was das bedeutet, weiß ich. Nur verstehe ich nicht, wie man auf den Ansatz P(X>=10) kommt.

[Rammstein53]

@maennlich2002

Bei einem rechtsseitigen Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit alpha gilt folgender Ansatz P(X >= k) <= alpha.

In der ersten Teilaufgabe ist alpha gegeben und k wird gesucht.

In der zweiten Teilaufgabe ist k gegeben und alpha wird gesucht.

k=10 ist gegeben durch die Aussage von Christian: wenn sich in einer Stichprobe von 40 Karten 10 Freikarten befinden, dann folgt daraus p > 0.2. Christian hat nur dann recht, wenn man die Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05 auf 0.268 erhöht.

[Rammstein53]

Danke für den Stern