Welche Bedingung muss gelten, um diese Gleichung zu vereinfachen?
I)
2 Antworten
Es muss gelten 0 <= p <= 1, ansonsten wird das Argument der Wurzel negativ. Das hilft aber nicht bei der Lösung der Gleichung.
1000*p + 1.96 * sqrt(1000*p*(1-p)) = 45
1.96 * sqrt(1000*p*(1-p)) = 45 -1000*p
beide Seiten quadrieren:
1.96² * 1000 * p * (1-p) = (45 - 1000*p)²
-3841.6*p² + 3841.6*p = 2025 - 90000*p + 1000000*p²
1003841.6*p² - 93841.6*p + 2025 = 0
quadratische Gleichung mit den Lösungen:
p1 ~ 0.0337993
p2 ~ 0.0596831
Die originale Gleichung wird nur durch p1 gelöst. p2 entsteht nur durch die Quadrierung der Gleichung.
Wenn man das Ergebnis nicht übertrieben genau braucht kann man ein bisschen runden:
1000 * p + 2 * √(1000 * p * (1 - p)) = 45
Durch 2 teilen und wieder ein bisschen dabei runden:
500 * p + √(1000 * p * (1 - p)) = 23
√(1000 * p * (1 - p)) = 23 - 500 * p
Quadrieren (keine echte Äquivalenzumformung):
1000 * p * (1 - p) = 529 - 23000 * p + 250000 * p ^ 2
1000 * p - 1000 * p ^ 2 = 529 - 23000 * p + 250000 * p ^ 2
251000 * p ^ 2 - 24000 * p + 529 = 0
Diese Gleichung lösen ergibt:
p_1 ≈ 0,03
p_2 ≈ 0,06
Weil das Quadrieren keine echte Äquivalenzumformung ist muss man eine Probe machen, und findet heraus dass nur p ≈ 0,03 eine Lösung ist. Der absolute Fehler von p ≈ 0,06 ist mehr als 7 mal so hoch wie der von p ≈ 0,03.
Also:
p ≈ 0,03
Vielleicht wäre es von Anfang an besser gewesen, wenn man das rein numerisch berechnet hätte.