Mathe integralrechnung bei anwendungsaufgaben?
Hey Leute , kann mir jemand bei dieser Aufgabe beim Ansatz helfen.
Ich verstehe den ganzen Rechner und was gemacht und warum es gemacht wurde .
Ich verstehe nur den Ansatz nicht so wirklich .
Wie kommt man darauf, dass es sich bei dem Graph um eine Funktion 4.grades handelt, die man rekonstruieren muss ? Wieso kann es keine Funktion dritten Grades sein?
( liegt es eventuell daran, dass der Graph drei Extremums hat also zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt und es deswegen eine Funktion vierten Grades ist, weil so hat es mr nämlich meine Freundin erklärt. sobald ein Graph drei extremums hat , handelt es sich um eine Funktion 4. Grades ( sagte sie ). Aber kann denn eine Funktion dritten Grades nicht auch zwei Hochpunkte und einen Tiepfpunkt bzw im allgemeinen drei Extremums besitzen ? )
und meine nachte Frage woher weiss man, dass der Graph achsensymmetrisch zur y Achse ist? Liest man es an der Zeichnug ab? Bzw an der Zeichnung im koordinatensystem ?
Danke im voraus
4 Antworten
Weißt du, wie eine Funktion 3ten Grades aussieht? Dann weißt du, warum es keine sein kann. Es Funktion 2ten Grades wäre aber auch möglich gewesen.
Das ist richtig, ein Graph mit 3 Extrema ist mindestens eine Funktion 4ten Grades (odrr größer)
Nein, eine Funktion 3ten Grades kann nicht 3 Extremstellen haben. Extremstellen findest du, indem du die erste Ableitung f'(x) = 0 setzt und die Nullstellen ausrechnest.
Bsp: f(x)= x^3
f'(x) = 3x^2
Eine Funktion zweiten Grades kann nur 2 Lösungen haben! Drei Lösungen sind also unmöglich.
Herrgott, jede Funktion mit gerader Hochzahl ist symmetrisch, sofern die sie nicht verschoben wurde. Daher weiß man, dass die Funktion achsensymmetrisch ist.
Man kann es natürlich auch beweisen, indem man für jedes f(-x) und f(x) denselben y-Wert erhält.
Eine Funktion zweiten Grades kann nur 2 Lösungen haben! Drei Lösungen sind also unmöglich.
meinst du damit also, dass eine Funktion zweiten Grades zwei nullstellen und ein extrem hat?
Nein, eine Funktion 3ten Grades kann nicht 3 Extremstellen haben. Extremstellen findest du, indem du die erste Ableitung f'(x) = 0 setzt und die Nullstellen ausrechnest.
Bsp: f(x)= x^3
f'(x) = 3x^2
und eine Funktion dritten Grades hat also drei nullstellen und 2 extrema ?
hab ich es richtig verstanden ?
Nicht immer!
Eine Funktion zweiten Grades kann 0-2 Nullstellen haben, hat aber immer 1 Extremstelle.
Eine Funktion dritten Grades kann 0-3 Nullstellen haben, und 0 oder 2 Extremstellen.
Warum 0 oder 2 Extremstellen? Sieh dir mal die Funktion f(x) = x^3 an und dann schau im Internet nach, was ein "Sattelpunkt" ist. Dann wirst du verstehen
Eine Funktion zweiten Grades kann nur 2 Lösungen haben! Drei Lösungen sind also unmöglich.
ic bin ein wenig durcheinander gekommen, weil hier die Rede von "2 Lösungen " ist , aber mit " Lösungen " sind jetzt in dem Falle die zwei nullstellen und nicht die extrema gemeint Oder ? Denn es kann ja nur ein extremum und zwei nullstellen haben
Von Lösungen spricht man, wenn man für f(x) = 0 ein x findet, für die die Gleichung = 0 ist.
Sprich: 2x + 1 = 0
x = - 1/2 ist eine Lösung. Der Punkt wäre (-1/2|0)
Wie du sicherlich weißt, werden die Extremstellen der Funktion f(x) in der ersten Ableitung zu Nullstellen. Wenn man eine Gleichung löst, so findet man heraus, für welche Stelle x die Funktion f(x) = 0 ist. Die Lösungen der Gleichung sind somit die Nullstellen.
Daher leitet man f(x) ab (Extremstellen werden zu Nullstellen) und löst die Gleichung von f'(x).
Wenn ich die Nullstellen errechnen will, löse ich die Gleichung von f(x).
Wenn man f(x) ableitet und f'(x)=0 setzt und die Gleichung auflöst , dann berechnet man ja die extrem aber eigentlich ja auch die irgendwie die nullstellen , da die Gleichung ja 0 gesetzt wird und da die Extrema bei f(x) zu den nullstellen von f'(x) werden
Ja eben. Dadurch erechnet man die zu Nullstellen gewordenen Extremstellen.
Funktion einer Parabel ist nicht möglich,weil da 3 Buckel sind!!
Außerdem soll der Übergang an den Stellen x1max=-10 und x2max=10 fließend sein,also m=0 an den Stellen x1=-10 und x2=10
Nein, die drei Buckel sind nicht die Erklärung. Lies dir mal den Text durch - damit erhält man fast den Eindruck, als ob die Konstruktion auch mit einer ^2 Funktion lösbar wäre. Allerdings lautet der Schlüsselsatz "fließender Übergang". Alleine der Satz schließt eine Funktion zweiten Grades aus.
Da steht "fließender " Übergang.
Bedeutet: An den Maximalstellen ist m=0 haben die Steigung der Geraden.
Wir haben also 3 Extrema (3 Buckel)
2 Maxima und 1 Minimum also 2+1=3 Buckel
Außerdem ist die Funktion "symetrisch " zur y-Achse
Bedingung : f(x)=f(-x) und das beduete,daß die Exponeten n=gerade sein müssen.
Außerdem noch die Bedingung bei x=0 ist ao=-6
Es kommt nur diese Funktion in Frage.
y=f(x)=a4*x^4+a2*x²+ao
LÖSUNG IST : y=f(x)=-6*10^(-4)*x^4+0,12*x^2-6
Hinweis: Eine Funktion 2.ten Grades ,also Parabel hat ja nur 1 Extremstelle und fällt deshalb weg.
kubische Funktion fällt auch weg,weil Bedingung f(x)=f(-x) nicht erfüllt ist
Die Funktion y=f(x)=x^3-2*x-6 hat zum Beispiel 1 "Maximum" und 1 Minimum und nicht,wie hier erforderlich 2 Maxima!!
Exakt, eine Funktion n-ten Grades kann maximal n-1 Extrema (und n Nullstellen) aufweisen. Auch ohne mathematischen Beweis sieht man das schnell daran, dass eine lineare Funktion kein Extremum hat, eine Parabel eines usw.
Daher wird eine Funktion dritten Grades niemals 3 Extrema aufweisen.
Achsensymmetrie zur y-Achse ist identisch mit der Eigenschaft "gerade", die besagt, dass f(-x)= f(x), das heißt, die ( - ) "verschwinden", wenn du sie in die Funktion eingibst. Paradebeispiel dazu ist x^2.
Hab die Aufgabe in meiner Aufgabensammlung aufgenommen.
Lösung ist y=f(x)=-6*10^(-4)*x^4+0,12*x²-6
Mit den doppelten Nullstellen x=10 und x=-10 und ao=-6
y=f(x)=(x-10)*(x-10)*(x+10)*(x+10)*a mit a=-6/10000=-6*10^(-4)
Hinweis: Maximum bei x1max=-10 und x2max=10 liegt symetrisch zur y-Achse und ist deshalb Achssymetrisch
Wir sehen hier 3 Extrema.
2 Maxima,die symetrisch zur y-Achse liegen
1 Minimum, daß auf der y-Achse liegt, bei x=0 und unterhalb der x-Achse
Bedingung Achssymetrie f(x)=f(-x)
Dies ist dann gegben,wenn die Exponeten n=gerade sind.
Also y=f(x)=a4*x^4+a2*x^2+ao
Wir haben hier 3 Unbekannte,a4,a2 und ao und brauchen dafür auch 3 Gleichungen.
P1(0/-6) ergibt ao=-6
Der Graph sieht aus,wie ein auf den kopfgestelltes W
xmax=-10 und xmax=10 sind doppelte Nullstellen
Bildungsgesetz
f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*a
x1,x2,x3 und x4 sind die "reellen Nullstellen und a ist ein Faktor,mit dem das Ganze dann multipliziert wird
versuch mal
f(x)=(x-10)*(x-10)*(x-(-10))*(x-(-10)*a
Eine Funktion 2. Grades hat keine Wendestellen und kommt daher nicht in Frage.
Es muß eine Funktion von Grad 4 sein.
Da sie achsensymmetrisch ist und bei -6 die y-Achse schneidet, hat sie die Form
f(x)=ax^4+bx^2-6
a und b lassen sich über eine der Nullstellen bei 10 oder bei -10 bestimmen
sowie über die Tatsache, daß die Steigung bei x=10 oder x=-10 Null sein muß, damit der knickfreie Anschluß an das Ufer gewährleistet ist.