Wie begründet man dass eine Funktion vierten Grades höchstens 4 Nullstellen haben kann?
^^ ^^
4 Antworten
Nun, angenommen, es gäbe eine Polynomfunktion 4. Grades mit n > 4 Nullstellen.
Dann müsste man den Funktionsterm dieser Funktion so schreiben können:
f ( x ) = a * ( x - x1 ) * ( x - x2 ) * ... * ( x - xn )
Multipliziert man das aus, dann erhält man einen Funktionsterm, der mit a * x ^ n beginnt, hat also eine Polynomfunktion n-ten Grades mit n > 4 , also eine Funktion höheren Grades als 4. Das aber ist ein Widerspruch zu der eingangs gemachten Annahme und damit ist diese Annahme falsch und ihre Umkehrung ist richtig.
Eine Funktion 4. Grades kann also höchstens 4 Nullstellen haben.
Wenn du eine Nullstelle x0 gefunden hast, kannst du die Funktion per Polynomdivision zerlegen in
f(x) = (x-x0) * g(x)
Ist f(x) eine Funktion vierten Grades, dann ist g(x) eine Funktion dritten Grades. Hat auch die eine Nullstelle (die dann ja auch Nullstelle von f ist), nennen wir sie x1, so kannst du wiederum per Polynomdivision weiterkommen zu
g(x) = (x-x1) * h(x)
und da ist h(x) eine Funktion 2. Grades. Die kann wiederum eine Nullstelle haben (x2) und wir haben
h(x) = (x-x2) * j(x).
j(x) muss jetzt den Grad 1 habe, hat also die Form ax-b. Auch das kann eine Nullstelle haben - aber nicht mehr. Insgesamt habe ich also
f(x) = a (x-x0) (x-x1) (x-x2) (x-x3) .
Weiter kann ich das nicht zerlegen - also gibt es keine weiteren Nullstellen.
Man verwendet die Produktschreibweise:
(x-x1) * (x-x2) * (x-x3) * (x-x4)
da sieht man sofort die 4 Nullstellen
Da man beide Seiten durch a teilen kann verschwindet a
-> wird - wie "seven of nine" sagen würde - irrelevant!
Anders: ein Produkt ist 0, wenn auch nur ein Faktor 0 ist...
Die Antworten der anderen sind vollkommen ausreichend.
Dies nur als Zusatzinfo (falls es dich interessiert):
...Da fehlt der Leitkoeffizient a (richtig bei FataMorgana2010).