Ebenen Vektoren?
Wie gehe ich hier vor?
3 Antworten
Damit zwei Vektoren eine Ebene aufspannen können, müssen sie entweder einen Schnittpunkt haben, oder parallel zu einander verlaufen. Das heißt, sie dürfen
- nicht identisch (sonst hast du eine Raumrichtung, du brauchst aber zwei)
- nicht windschief (dann würden sie aneinander vorbeilaufen, ohne sich zu schneiden)
sein.
Das musst du also zuerst checken.
Fall A: Sind die Geraden parallel, aber nicht identisch? (Findest du heraus, indem du die Richtungsvektoren vergleichst. Sind diese gleich bzw. Vielfache voneinander, dann schaust du, ob der Startpunkt von Vektor A auf Vektor B liegt.)
Dann konstruierst du dir noch einen dritten Richtungsvektor, die die beiden Startpunkte miteinander verbindet. Also in diesem Fall z.B. Startpunkt (4 / 1 / 2) minus Startpunkt (1 / 3 / 5); dies ergibt (3 / -2 / -3).
Dann nimmst du einen der beiden Startpunkte für diese neue Gerade, und dazu den Richtungsvektor. Deine neue Gerade könnte also heißen:
(4 / 1 / 2) + u ⋅ (3 / -2 / -3).
Und dann hast du bereits alles, was du brauchst: Einen Startpunkt und zwei Richtungsvektoren, deine Ebene könnte also heißen
E = (4 / 1 / 2) + r ⋅ (-2 / 1 / 0) + u ⋅ (2 / -2 / -3)
Fall B: Haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt?
Dazu setzt du die beiden Geraden gleich, also Zeile für Zeile (hier für das Beispiel g,k):
4 - 2 r = t
1 + r = t
2 = t
Dann findest du heraus, was ist r, was ist t? Nur wenn das für alle drei Zeilen passt, gibt es einen Schnittpunkt! Und nur dann kann es eine Ebene geben.
Dann musst du noch eine Formel für die Ebene angeben. Du brauchst einen Startpunkt - das kann z.B. der Aufpunkt eines der Vektoren sein (denn die liegen ja beide in der Ebene, wenn es denn eine Ebene gibt).
Also fängst du z.B. an mit E = (4 / 1 / 2)
(in Vektorschreibweise, also untereinander... du weißt schon!)
Und dann verpasst du ihr noch die beiden Richtungsvektoren:
E = (4 / 1 / 2) + r ⋅ (-2 / 1 / 0) + t ⋅ (1 / 1 / 1)
Ich haben es gerechnet und nun raus; dass nur g,h eine Ebene festlegen da sie kollinear sind. g,k und h,k legen keine Ebene fest da sie nicht kollinear sind. Habe ich das richtig gerechnet?
Nicht ganz. Wenn zwei Geraden nicht kollinear sind (wie in diesem Fall g,k und h,k) können sie trotzdem eine Ebene festlegen, wenn sie einen Schnittpunkt haben. Das musst du also auch herausfinden.
Also mit g,h hast du schon mal recht - sie sind kollinear bzw. parallel, sie können also eine Ebene aufspannen (neuen Vektor konstruieren, so wie in Fall A, ist angesagt)!
Also demnach gleichsetzen..? Aber g=h stimmen oder? Hier müsste man nicht unbedingt gleichsetzen, da konnte man ja relativ einfach die Parameterform bestimmen
Also ich habe nun gleichgesetzt und g=k haben schnittpunkte. Als Ebene habe ich x= (4,1,2) + r* (-2,1,0) +s* (2,2,2) raus. Ich habe für den letzten Vektor einfach t=2 in k eingesetzt, ist das möglich? Für h=k gibt es keinen Schnittpunkt, gibt es dann auch keine Ebenengleichung?
Wegen dem Vektor mit t=2 und (2,2,2):
Das kannst du einsetzen, musst du aber nicht. (2,2,2) ist eine Möglichkeit, (1,1,1) aber auch. Beides geht. Denn an der Richtung des Vektors ändert das nichts (nur an der Länge, aber für die Ebene ist das egal, nur die Richtung muss stimmen)
Überlege, wann zwei geraden eine Eben festlegen können.
Um zu überprüfen, welche zwei Geraden eine Ebene festlegen, muss man herausfinden, welche zwei Geraden sich nicht schneiden und auch nicht parallel sind.
Die Gerade g ist durch den Punkt A(4,1,2) und die Richtung (-2,1,0) definiert.
Die Gerade h ist durch den Punkt B(1,3,5) und die Richtung (2,-1,0) definiert.
Die Gerade k ist durch den Punkt C(0,0,0) und die Richtung (1,1,1) definiert.
Zuerst überprüfen wir, ob die Geraden g und h eine Ebene bilden. Da die Richtungsvektoren der Geraden g und h nicht kollinear sind, können sie eine Ebene bilden. Die Normalenvektoren der Ebenen, die durch die Geraden g und h festgelegt sind, können durch das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren berechnet werden.
N = (-2,1,0) x (2,-1,0) = (0,0,-4)
Die Ebenengleichung ist dann (x-A)•N = 0, wobei A ein Punkt auf der Ebene ist (zum Beispiel der Punkt (4,1,2) auf der Geraden g) und N der Normalenvektor ist.
Die Ebenengleichung ist dann (x-4,y-1,z-2)•(0,0,-4) = 0, was zu 4z - 8 = 0 oder z = 2 führt.
Ähnlich können wir überprüfen, ob die Geraden g und k eine Ebene bilden. Da die Richtungsvektoren der Geraden g und k nicht kollinear sind, können sie eine Ebene bilden. Die Normalenvektoren der Ebenen, die durch die Geraden g und k festgelegt sind, können durch das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren berechnet werden.
N = (-2,1,0) x (1,1,1) = (-1,-2,3)
Die Ebenengleichung ist dann (x-4,y-1,z-2)•(-1,-2,3) = 0, was zu -x - 2y + 3z + 7 = 0 führt.
Es ist zu beachten, dass die Geraden h und k nicht in der gleichen Ebene liegen, da ihre Richtungsvektoren kollinear sind. Daher können sie keine Ebene zusammen bilden
Das ist falsch. Auch zwei parallele, aber nicht identische Geraden spannen eine Ebene auf.