Damit zwei Vektoren eine Ebene aufspannen können, müssen sie entweder einen Schnittpunkt haben, oder parallel zu einander verlaufen. Das heißt, sie dürfen
- nicht identisch (sonst hast du eine Raumrichtung, du brauchst aber zwei)
- nicht windschief (dann würden sie aneinander vorbeilaufen, ohne sich zu schneiden)
sein.
Das musst du also zuerst checken.
Fall A: Sind die Geraden parallel, aber nicht identisch? (Findest du heraus, indem du die Richtungsvektoren vergleichst. Sind diese gleich bzw. Vielfache voneinander, dann schaust du, ob der Startpunkt von Vektor A auf Vektor B liegt.)
Dann konstruierst du dir noch einen dritten Richtungsvektor, die die beiden Startpunkte miteinander verbindet. Also in diesem Fall z.B. Startpunkt (4 / 1 / 2) minus Startpunkt (1 / 3 / 5); dies ergibt (3 / -2 / -3).
Dann nimmst du einen der beiden Startpunkte für diese neue Gerade, und dazu den Richtungsvektor. Deine neue Gerade könnte also heißen:
(4 / 1 / 2) + u ⋅ (3 / -2 / -3).
Und dann hast du bereits alles, was du brauchst: Einen Startpunkt und zwei Richtungsvektoren, deine Ebene könnte also heißen
E = (4 / 1 / 2) + r ⋅ (-2 / 1 / 0) + u ⋅ (2 / -2 / -3)
Fall B: Haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt?
Dazu setzt du die beiden Geraden gleich, also Zeile für Zeile (hier für das Beispiel g,k):
4 - 2 r = t
1 + r = t
2 = t
Dann findest du heraus, was ist r, was ist t? Nur wenn das für alle drei Zeilen passt, gibt es einen Schnittpunkt! Und nur dann kann es eine Ebene geben.
Dann musst du noch eine Formel für die Ebene angeben. Du brauchst einen Startpunkt - das kann z.B. der Aufpunkt eines der Vektoren sein (denn die liegen ja beide in der Ebene, wenn es denn eine Ebene gibt).
Also fängst du z.B. an mit E = (4 / 1 / 2)
(in Vektorschreibweise, also untereinander... du weißt schon!)
Und dann verpasst du ihr noch die beiden Richtungsvektoren:
E = (4 / 1 / 2) + r ⋅ (-2 / 1 / 0) + t ⋅ (1 / 1 / 1)