Doppelte Sonnenmasse?
Ich soll berechnen, wie sich Halbachse und Umlaufzeit der Erde ändern, wenn die Sonnenmasse plötzlich verdoppelt wird. Komme nicht weiter, da zwei Unbekannte. Geht wahrscheinlich irgendwie über die Erhaltung des Drehimpulses oder der Energie...
4 Antworten
Hallo Atompilzgenuss,
da fehlt tatsächlich die Information, welche Größen genau gleich bleiben sollen.
Geht wahrscheinlich irgendwie über die Erhaltung des Drehimpulses…
Da bin ich mir ziemlich sicher, dass
(1) L = m·r²·φ̇,
wobei φ̇ die Winkelgeschwindigkeit ist, gleich bleiben soll.
…oder der Energie...
Das ist gerade die Frage: Soll die Summe aus spezifischer kinetischen Energie
(2.1) T/m = ½·v²
und Gravitationspotential
(2.2) Φ = –G·M/r
(beides natürlich im NEWTON-Limes) gleich bleiben, oder soll die Erde in dem Augenblick, in dem das geschieht, gerade an der Stelle sein, wo sie unmittelbar zuvor ist?
In jedem Fall ist für den Drehimpuls der Halbparameter p=b²/a charakteristisch, wobei a die große und b die kleine Halbachse ist. Genauer hat der spezifische Drehimpuls das Quadrat
(3.1) h² = (L/m)² = G·M·p
(3.2) p = h²/{G·M},
d.h., wenn die Masse der Sonne verdoppelt würde, würde sich in jedem Fall bei Verdopplung der Masse der Halbparameter halbieren.
Die spezifische Bahnenergie ist durch
(4) ϵ = –G·M/2a
gekennzeichnet.
„Energie bleibt gleich“……bedeutet wegen (4), dass sich auch die große Halbachse verdoppeln muss.
„Erde steht bei Verdopplung an derselben Stelle“……bedeutet eine schlagartige Verdopplung des Potentials Φ, was wegen des Minuszeichens natürlich heißt, dass sie schlagartig kleiner wird.
In diesem Fall würde die alte Entfernung plötzlich zum Aphel einer sehr elliptischen Bahn, und die Erde würde näher zur Sonne herangezogen und dabei schneller. Es würde dann ein neues Perihel näher an der Sonne entstehen.
Dann würde sich aber auch die potentielle Energie der Erde schlagartig verdoppeln.
> potentielle Energie der Erde schlagartig verdoppeln.
Wer schlagartig eine Sonnenmasse verdoppeln kann, für den ist das doch eine leichte Übung.
An sich schon. Die Frage ist, welche physikalischen Größen sich nicht ändern sollen.
Umlaufzeit und Entfernung sind ja dank 3. Keplerschem Gesetz verlinkt; hast das eine, ergibt sich das andere.
es über das Gravitationsgesetz zu lösen ist zu einfach gedacht ? *kopfkratz*
Bei einer bestimmten Masse des Zentralsterns. Es ist
T² = r³·(4π²/GM),
und M ist die Masse des Sterns.
Drehimpulserhaltung ist die richtige Idee.
Das dürfte das Umgekehrte sein wie bei der Berechnung der Erdbahn, nachdem die Sonne gegen Ende ihrer Lebensdauer einen beträchtlichen Teil ihrer Masse verloren hat.
Habe jetzt die Vis-Viva-Gleichung benutzt und für v die jetzige Bahngeschwindigkeit der Erde und für r die jetzige Entfernung zur Sonne eingesetzt. Nach a aufgelöst komme ich aber auf einen Wert von ziemlich genau r/2, was ja nicht sein kann, da die Erde sonst direkt in die Sonne stürzen würde.
Weiß nicht, aber was soll mir der drehimpuls groß bringen? Ich kann ihn ausrechnen, solange noch alles normal ist, aber bei doppelter sonnenmasse weiß ich ja nichts mehr.
Wenn es - wie ich vermutete - die Umkehr des langsamen Leichterwerdens der Sonne ist, kommt es auf eine engere Kreisbahn mit demselben Drehimpuls hinaus.
Hab aber die Frage noch mal gelesen - da steht "plötzlich". D. h. aus der nahezu kreisförmigen Erdbahn wird eine Ellipse mit aktuellem Radius und aktueller Bahngeschwindigkeit am Aphel. Damit und mit der neuen Zentralsternmasse sollten sich die neuen Bahnparameter berechnen lassen.
Fall a) Ich lasse die Erde bei der plötzlichen Verdopplung der Sonnenmasse an der gleichen Stelle mit den Bahndaten der Erde:
a=1 AE, T=1a, e=0
Nach der Verdopplung der Sonnenmasse haben sich folgende Daten ergeben:
a=0,67 AE, T=0,386a, e=0,5(Perihel=0,33, Aphel=1AE)
Fall b) Wenn ich aber eine Umlaufzeit T von 1a behalten möchte, muss man eine große Halbachse a von 1,26 AE haben (gleiche Winkelgeschwindigkeit). Die Umlaufgeschwindigkeit erhöht sich dann allerdings um den Faktor 1,258.
Fall c) Bei gleich bleibender kinetischer Energie (v=29,7 m/s) muss die große Halbachse doppelt so groß sein, somit a ~ m
Die Werte habe ich mithilfe des Simulationsprogramms Universe Sandbox² (auf Steam erhältlich) ermittelt.
> oder soll die Erde in dem Augenblick, in dem das geschieht, gerade an der Stelle sein, wo sie unmittelbar zuvor ist?
Ist IMO die einzige zur Formulierung "plötzlich verdoppelt " passende Interpretation.