Die Dimensionsformel lautet ja:
dim (U + U') = dim U + dim U' - dim (U ∩ U')
wobei U und U' Untervektorräume von K sind und endlichdimensional sind.
Nun das Beispiel:
Angenommen, wir haben den Vektorraum K, der durch die Menge {v1, v2, v3, v4} erzeugt wird. Wir definieren zwei Untervektorräume U und U' in K wie folgt:
U = Span{v1, v2, v3}
U' = Span{v3, v4}
Um die Dimensionenformel anzuwenden, müssen wir die Dimensionen von U, U' und ihrem Schnitt U ∩ U' bestimmen.
Die Dimension von U wird durch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in U bestimmt. In diesem Fall sind die Vektoren v1, v2 und v3 linear unabhängig, daher ist dim U = 3.
Die Dimension von U' wird ebenfalls durch die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in U' bestimmt. In diesem Fall sind die Vektoren v3 und v4 linear unabhängig, daher ist dim U' = 2.
Der Schnitt U ∩ U' besteht aus den Vektoren, die sowohl in U als auch in U' enthalten sind. In diesem Fall ist v3 der einzige Vektor, der in beiden Untervektorräumen enthalten ist. Daher ist dim (U ∩ U') = 1.
Jetzt können wir die Dimensionenformel anwenden:
dim (U + U') = dim U + dim U' - dim (U ∩ U')
dim (U + U') = 3 + 2 - 1
dim (U + U') = 4
Die Dimension der Summe U + U' beträgt 4.
Wäre das korrekt?
