Aufgabe:Beweise, dass für jedes Dreieck \( A B C \) und für jede Gerade \( g \) die folgenden Aussagen geltem?

Aufgabe:Beweise, dass für jedes Dreieck ABC A B C ABC und für jede Gerade g g g die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade g g g durch den Mittelpunkt B′ B^{\prime} B′ der Seite AC‾ \overline{A C} AC verlāuft und parallel zur Geraden AB A B AB ist, dann schneidet die Gerade g g g die Seite BC‾ \overline{B C} BC in deren Mittelpunkt A′ A^{\prime} A′.

b) Wenn die Gerade g g g durch den Mittelpunkt B′ B^{\prime} B′ der Seite AC‾ \overline{A C} AC und den Mittelpunkt A′ A^{\prime} A′ der Seite BC‾ \overline{B C} BC verläuft, dann ist die Gerade g g g parallel zur Geraden AB A B AB.

c) Die Verbindungsstrecke A′B′‾ \overline{A^{\prime} B^{\prime}} A′B′ des Mittelpunkts A′ A^{\prime} A′ der Seite BC‾ \overline{B C} BC und des Mittelpunkts B′ B^{\prime} B′ der Seite AC‾ \overline{A C} AC ist halb so lang wie die Dreieckseite AB‾ \overline{A B} AB

Hinweise:

1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensātze sind.

2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks. Die in b) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

Schule, Mathematik, Dreieck