Zeige, dass das Volumen des Rotationsparaboloids halb so groß wie das Volumen des ungeschriebenen Zylinders ist?

Hallo, könntet ihr mir bitte beim Lösen dieser Aufgabe helfen? Wäre äußerst dankbar...

Laut Lösungsheft kommt: V_Paraboloid=(pir^2h)/2 und V_Zylinder=pir^2h -> V_Par=1/2*V_Zyl

Answer 1

[Mathetrainer]

Paraboloid:

Mit

$k\cdot\sqrt{h}=r$ somit

$k=\frac{r}{\sqrt{h}}$ gilt

$V=\pi\cdot\int_0^h\left(k\cdot\sqrt{x}\right)^2dx=\pi\cdot\int_{0\ }^hk^2\cdot x\ dx$

k einsetzen:

$V=\pi\cdot\int_0^h\left(\frac{r}{\sqrt{h}}\right)^{2\ }\cdot x\ dx$ Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen

$V=\left[\pi\cdot\frac{r^{2\ }}{h}\cdot\frac{1}{2}x^2\right]_{0\ }^{h\ }=\pi\cdot\frac{r^{2\ }}{h}\cdot\frac{1}{2}h^2=\frac{1}{2}\pi\cdot r^{2\ }\cdot h$ Zylinder:

$V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$ Somit

$V_{Paraboloid}=\frac{1}{2}V_{Zyl}$

Comments

[Fener0707]

Boah voll cool und verständlich vielen vielen Dank!

[Fener0707]

Könntest du mir bitte auch bei einer anderen mathematischen Frage noch helfen?

[Mathetrainer]

Musst du halt stellen.

[Fener0707]

@Mathetrainer

Okay, habe ich.

[Mathetrainer]

Ist aber keine da ???

[Fener0707]

@Mathetrainer

Doch auf meiner Seite...

[Fener0707]

Woher weiß ich, dass ich statt dem x h einsetzen muss?

[Mathetrainer]

Das sind doch die Integrationsregeln. Nachdem du die Stammfunktion gebildet hast, musst du die obere Grenze - untere Grenze bilden. In deinem Falle ist allerdings die untere Grenze = 0, da ja hier für x Null eingesetzt werden muss und damit der ganze Ausdruck null wird.