Wie kann ich eine Matrixpotenz berechnen die hoch 50 ist?
Zur Aufgabe. Wir haben eine Matrix. Diese wird mit dem anfangszustand multipliziert und imm3r so weiter bis zur grenzmatrix. Ich will jetzt nicht 50 mal rechnen. Wie kann ich das direkt ausrechnen, so wie bei Funktionen z.b mit hoch 50. Wie geht es rechnerisch hier?! Mit dem Taschenrechner? Oder auch mathematisch... Danke für die Hilfe.
2 Antworten
Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, dann ist es Recht einfach:
Finde zur Matrix A die Basiswechselmatris S sodass:
D=S^-1AS, wobei D die diagonalmatrix ist.
Also:
A = SDS^-1
Wenn du somit A^50 Rechnest, kannst du A austauschen sodass du
(SDS^-1)^50 rechnen kannst. Was jetzt nicht so schwer ist, da sich die S und S^-1 in der Mitte gegenseitig aufheben.
Also ist dann A^50=S*D^50*S^-1, und die Potenz einer diagonalmatrix lässt sich sich bestimmen, indem man die einzelnen Komponenten potenziert.
Ist die Matrix jedoch nicht diagonalisierbar, müsstest du sie auf die Jordan Normalform bringen, wo du beim potenzieren noch paar Dinge beachten musst
Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen, dann kannst du die Matrix diagonalisieren. Bei einer Diagonalmatrix darfst du die Potenz einfach elementweise anwenden.