Wie funktioniert Fixpunkt Iteration?
Ich habe die Gleichung (cos(x))^3 + 2 = e^5-x. Diese muss ich durch Fixpunkt Iteration lösen. Ich weiß dass man das ganze in die Form x=g(x) bringen muss, aber wie funktioniert das genau?
Soll es e^5-x oder eher e^(5-x) heißen?
mit den Klammern
sorry vergessen die zu setzen
2 Antworten
Nimm auf beiden Seiten den ln. Dann hast du ln(cos³(x)+2)=5-x, woraus dann 5-ln(cos³(x)+2)=x wird. Mit g(x):=5-ln(cos³(x)+2) hast du dann die Form g(x)=x.
Man müsste nun eigentlich noch zeigen, dass g(x) eine Kontraktion ist, dann kann man den Fixpunktsatz von Banach anwenden. Ich verzichte hier mal auf einen Beweis der Kontraktion; ich denke mal, du bist eher an der Anwendung der Iteration interessiert.
Definiert man nun gemäß dem Fixpunktsatz die Folge
so konvergiert diese gegen den einzigen Fixpunkt von g. Das kann man jetzt iterativ ausrechnen lassen. Wie oben angemerkt, kann man den Startwert beliebig wählen. Ich habe es hier mal mit a_0=1 ausrechnen lassen. Du kannst dir unten auf der Seite die Folgenglieder für n von 0 bis 9 anzeigen lassen, wenn du auf more klickst.
Es scheint auf gerundet x=4,33265 hinauszulaufen, das sieht man auch ganz gut, wenn man sich das mal zeichnen lässt.
Anbei doch eben ein Beweis für die Kontraktion.
Eine Kontraktion ist eine lipschitz-stetige Abbildung mit einer Libschitz-Konstante<1. Soll im Klartext heißen, dass die Ableitung nach oben durch 1 beschränkt ist.
Die Ableitung von g ist [3sin(x)cos³(x)] / (cos³(x)+2). Diese Ableitung kann man nun auf globale Extrema untersuchen und erhält letzten Endes einen global maximalen Funktionswert von gerundet 0,837. Damit ist die Ableitung auf jeden Fall nach oben durch 1 beschränkt und damit ist g eine Kontraktion. Der Fixpunktsatz kann also tatsächlich benutzt werden.
Die Fixpunktiteration ist ein in der Mathematik gebräuchliches iteratives Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen einer Funktion ff auf einem bestimmten Intervall [a,b].
In diesem Fall x0 und x1 als Intervall.
Wie fit bist du in programmieren? Ich könnte es exemplarisch mit matlab zeigen, dann verstehst du es etwas besser. Ansonsten einfach irgendeine Funktion nehmen und mal versuchen, es gibt dutzend hilfreiche Youtube Videos und Mathematik skripte, wo das Stück für Stück erklärt wird. LG
Ich habe immer mal nach Videos geschaut, aber irgendwie kein richtiges gesehen, dass mir hilft
mit dem Programmieren fange ich gerade erst richtig an
Mein eigentliches Problem ist eher wie ich die Formel oben in eine geeignete x=g(x) formel bringe
ok wie genau würde ich denn bei meiner Aufgabe vorgehen?