Wie berechnet man die n-te Potenz einer Matrix?
3 Antworten
Entweder n-mal mit sich selbst mutliplizieren
oder einen der Algorithmen für Potenzen mit ganzzahligem Exponenten
oder (falls diagonalisierbar) diagonalisieren und jeden Diagonalwert einzeln potenzieren; falls nicht diagonalisierbar, so weit wie möglich diagonalisieren, und für die Diagonalelemente wie oben und für den nicht-diagonalisierbaren Anteil von Hand ausrechnen (der Nicht-diagonal-Anteil hat eine ganzzahlige Potenz, bei der er zur Nullmatrix wird)
Das kommt auf die Matrix an.
Manchmal kann man einfach die ersten Potenzen ausrechnen, um eine Vermutung aufzustellen, welche man dann anschließend (beispielsweise mit vollständiger Induktion) beweisen kann.
Ansonsten kann es auch helfen, die Matrix geeignet zu zerlegen, also in eine Form umzuwandeln, bei der man leicht potenzieren kann. (Stichwort: Jordan-Normalform bzw. bei Diagonalisierbarkeit die Matrix diagonalisieren)
Noch ein Spezialfall:
Wenn die zu potenzierende Matrix A nur einen einzigen λ hat, so kann man direkt die Jordan-Chevalley-Zerlegung
A = A[S] + A[N]
mit dem halbeinfachen Teil
A[S] = λ E
und dem nilpotenten Teil
A[N] = A - λ E
angeben, wobei E die Einheitsmatrix sei.
Die Potenzen von A[S] kann man leicht berechnen, da A[S] diagonal ist.
Von den Potenzen von A[N] muss man nur endlich viele ausrechnen, da irgendwann alle weitere Potenzen die Nullmatrix sind, da A[N] nilpotent ist.
Da A[S] und A[N] kommutieren, kann man bei A^n = (A[S] + A[N])^n den Binomialsatz anwenden.
Beispiel:
Hilfreich wäre eine Beispielaufgabe