Was ist der Hilbert Raum?

Es gibt nicht den einen Hilbertraum. Als Hilbertraum werden bestimmte mathematische Räume (genannt Vektorräume) bezeichnet. Diese müssen jedoch noch bestimmte weitere Eigenschaften erfüllen.

Ein Vektorraum V ist erstmal eine Menge, in der zwei Elemente addiert werden können und dann wieder in dieser Menge liegen. Zudem gibt es eine spezielle Skalarmultiplikation. In dieser wird ein Element aus dem Vektorraum mit einem Element aus einer weiteren Menge K (diese Menge ist eine Körper) multipliziert und liegen dann wieder im Vektorraum. Ein Körper ist eine weitere algebraische Struktur, die unter anderem Rechenregel bezüglich zweier Verknüpfungen (wie Plus und Mal) erfüllt. Zum Beispiel sind die reellen oder die rationalen Zahlen Körper. Die Addition und Skalarmultipklikation in V sind dann noch miteinander verbunden, z.B über das Distributivgesetz und das Assoziativgesetz.

Ein Beispiel für einen Vektorraum ist der R^3 oder R^2 (das 3- bzw. 2- dimensionale Koordinatensystem aus der Schule).

Ein Hilbertraum ist aber ein spezieller Vektorraum. Die Menge K muss entweder die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen sein. Zudem muss auf dem Vektorraum ein Skalarprodukt definiert sein. Eines dieser Skalarprodukt lernt man auch in der Schule kennen (Oberstufe). Dort wird es so berechnet:

Zum Schluss muss noch gelten, dass der Vektorraum bzgl. der Norm, die durch das Skalarprodukt erzeugt wird, vollständig ist. Die Norm eines Vektors bzgl. des Skalarprodukts aus der Schule lautet:

Die Norm ist eine Verallgemeinerung der Länge und in obigen Fall ist es genau die "echte" Länge eines Vektors.

Vollständig ist wieder relativ schwierig zu erklären, denn das heißt das jede Cauchy-Folge in V bzgl. der Norm konvergiert, d.h. einen Grenzwert besitzt. Eine Folge ist z.B.:

Diese hat den Grenzwert 0, falls n gegen unendlich geht. Eine Cauchy-Folge ist nun vereinfacht gesagt eine Folge bei der der Abstand der Folgenglieder beliebig klein wird.

Fassen wir zusammen. Ein Hilbertraum ist eine Vektorraum über die reellen oder komplexen Zahlen, der bezüglich des auf ihm definierten Skalarprodukts vollständig ist.

Ein Beispiel für einen Hilbertraum ist der R^3. Das Skalarprodukt und die davon abgeleitet Norm bzgl. derer er vollständig ist, steht weiter oben.

Ich hoffe es war einigermaßen zu verstehen. Nur erfordert die sehr kurze Definition doch etwas mehr Vorwissen. :D