Statistik: Was ist eine lineare Transformation?
Hey,gibts hier jemanden, der weiß, was eine Lineare Transformation ist? es ist schwer, eine Formel anzuwenden, wenn man nicht gesagt bekommt was das ist. Habe auch schon recherchiert, konnte aber nichts gutes finden. danke im voraus
3 Antworten
eine lineare transformation ist eine umrechnung der werte, so dass die verhältnisse zwischen den werten erhalten bleiben.
so kann man es sich veranschaulichen (ist ein beispiel aus diehl & kohr "deskriptive statistik"):
zeichne eine skala, auf die deine werte abgetragen werden können z.b. eine linie von 0 bis 100 mit gleichmässiger stückelung z.b. 1er-einheiten, d.h. 0, 1, 2, 3... usw
trage verschiedene beliebige werte ein z.b. 12, 15, 21 und 33 (diese werte heissen x1 bis x4).
die abstände von x1 nach x2 nach x3 nach x4 sind a) 3, b) 6 und c) 12 einheiten: x2 - x1 = 15 -12 = 3, x3 - x2 = 21 - 15 = 6 und x4 - x3 = 33 - 21 = 12.
diese abstände a, b, c kann man zueinander in verhältnisse setzen z.b. c/a = 12/3 = 4 oder b/a = 6/3 = 2.
jetzt kann man verschiedene lineare transformationen machen z.b. von jedem wert x eine zahl abziehen. dadurch ändert sich die beschrieftung auf der skala. wenn man von jedem punkt auf der skala z.b. 9 abzieht, dann ist dort, wo vorher die 9 war, jetzt der nullpunkt: der nullpunkt hat sich verschoben, daher nennt man diese transformation auch nullpunkttransformation. es haben sich auch alle anderen werte geändert, sie sind um 9 kleiner.
wenn man aber die abstände a, b, c und ihre verhältnisse ausrechnet, wird man feststellen, dass es immer noch die gleichen werte für a, b, c und ihre verhältnisse zueinander sind. a ist immer noch 3, b ist immer noch 6, c ist immer noc 12. das heisst, die abstände zwischen den werten sind gleich geblieben.
durch subtraktion oder addition kann man also den nullpunkt verschieben.
weitere lineare transformationen sind einheitentransformationen = wenn man die werte mit einer konstanten zahl multipliziert oder dividiert. dadurch bekommt man für a, b, c andere werte als bei den ersten (originalen) zahlen heraus. wenn man aber die verhältnisse bildet, dann stellt man fest, dass die verhältnisse immer noch die gleichen sind. d.h. dass c/a immer noch 4 ist und b/a immer noch 2.
man darf nullpunkt- und einheitentransformation gleichzeitig durchführen. und man darf die skala auch invertieren, d.h. dass hohe werte zu niedrigen werden und niedrige zu hohen, indem man mit negativen zahlen multipliziert.
wenn man die werte auf andere weise transformiert (z.b. potenzieren), dann bleiben die abstände c/a etc nicht erhalten.
ps: wenn man auf linear transformierte werte einen statistischen test anwendet, z.b. 2 linear transformierte gruppen miteinander vergleicht, dann kommt dabei bezüglich der signifkanz des unterschiedes (t-wert und p-wert) genau dasselbe heraus wie im untransformierten fall.
was man unter einer linearen Transformation versteht
In der Statistik wird eine lineare Transformation durch die lineare Funktion Y = a + b * X (Stichwort: Geradengleichung) beschrieben, dabei sind X, Y Zufallsvariablen. Jeder Zufallsvariable X wird genau eine Zufallsvariable Y zugeordnet
Hier findest du 2 Anwendungen linearer Transformation: http://tinyurl.com/bnemlto
beim 1. Beispiel:
Hier lässt sich Y als Y = a + b * X darstellen, a,b, ergeben sich aus der Aufgabenstellung. Man erkennt den Vorteil Y als Y = a + b * X zu schreiben, nämlich die einfachere Berechnung von EY und varY
beim 2. Beispiel:
Zuvallsvariablen lassen sich standardisieren, sodass der Erwartungswert gleich 0 und die Varianz gleich 1 ist. Dabei wählt man für :
a = -EX / Wurzel (var X)
b = 1 / Wurzel (var X)
ein Bsp. dazu: Normalverteilung - Standardnormalverteilung
Zum Nutzen der Standardisierung siehe bei Wikipedia unter dem Ausdruck:
"Tabelle Standardnormalverteilung"
z.B.:
yi = a + b * xi
für den Mittelwert ergibt sich dann:
yquer = a + b * xquer ................. Anwendung: Regressionsgerade
hallo. danke erst einmal für die antwort. diese formeln sind mir bekannt, ich verstehe aber nicht, was man unter einer linearen Transformation versteht. Außerdem haben wir die Regressionsgrade noch nicht besprochen, ich hatte erst einige Vorlesungen und stehe somit ziemlich am Anfang. Und was steht für a b und soweiter?