Speichern Router Webseiten trotz Incognito Modus?

Der Router hat mit dem Inkognitomodus nichts zu tun.
Das betrifft nur deinen Browser. Der Speichert z.B. keinen Verlauf und Cookies werden anderes gemanagt.
Normalerweise zeigen Browser auch immer eine Übersicht an was der Modus überhaupt macht und was eben nicht wenn man ihn aktiviert.

Der Router oder auch der Internetprovider sehen nach wie vor quasi das gleiche.