Problem bei einer Matheaufgabe- Sektglas!?
Man hat ein Sektglas (1) mit der Füllhöhe 8cm und dem oberen Radius 3cm. Man füllt dies ganau bis zur Hälfte mit einer Flüssigkeit. Nun soll man ein weiteres identisches Sektglas (2) auch mit Sekt füllen, sodass es genau die andere Hälfte von Sektglas 1 auffüllen würde. Wie hoch muss der Sekt in Glas 2 stehen?
4 Antworten
Ein Kegel mit der Höhe h = 8 cm und dem Radius der Grundfläche von r = 3 cm hat ein Volumen V von:
V = ( 1 / 3 ) * pi * r ^ 2 * h
= ( 1 / 3 ) * pi * 9 * 8
= 24 * pi cm ^ 3
(das entpricht etwa 75,4 cm ^ 3)
.
Bei der halben Füllhöhe ( h = 4 ) beträgt der Radius r1/2 nur noch die Hälfte des Radius bei voller Höhe, da ein proportionaler Zusammenhang zwischen Radius und Füllhöhe besteht (siehe dazu weiter unten), also:
r1/2 = 1,5 cm
.
Ein Kegel mit diesen Maßen hat ein Volumen von
V1/2 = ( 1 / 3 ) * pi * 1,5 ^ 2 * 4 = 3 * pi
(das entspricht etwa 9,4 cm ^ 3)
.
Die Differenz beträgt:
24 * pi - 3 * pi = 21 * pi cm ^ 3
.
Man muss das Glas 2 also soweit füllen, dass es 21 * pi cm ^ 3 enthält.
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Setzt man das Glas mit seinem Boden in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems, dann hat die Mantellinie des Glases, die sich in der x-y Ebene befindet, die Gleichung
y = m * x + 0
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Die Steigung m erhält man durch die beiden gegebenen Punkte der Mantellinie, nämlich
( 0 | 0 ) und ( 3 | 8 )
Sie beträgt:
m = ( 8 - 0 ) / ( 3 - 0 ) = 8 / 3
.
Die Mantellinie hat daher die Gleichung
y = 8 / 3 x
.
Da aber x dem Radius und y der Höhe des Kegels entspricht, kann man auch schreiben:
h = ( 8 / 3 ) * r
und hat somit den linearen, ja sogar proportionalen Zusammenhang zwischen Füllhöhe und Radius bestimmt.
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Die Umkehrung lautet:
r = ( 3 / 8 ) * h
Dies verwendet man nun im Folgenden.
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Es soll ja die erforderliche Füllhöhe des Glases ermittelt werden, damit das Glas ein Volumen von 21 pi enthält.
Es soll also gelten:
V = ( 1 / 3 ) * pi * r ^ 2 * h = 21 * pi
<=> r ^ 2 * h = 63
.
Hier setzt man nun für r den weiter oben dafür bestimmten Term 3 / 8 * h ein und erhält:
( ( 3 / 8 ) * h ) ^ 2 * h = 63
<=> ( 9 / 64 ) * h ^ 3 = 63
<=> h ^ 3 = 63 * 64 / 9 = 7 * 64
<=> h = 3.Wurzel ( 7 * 64 )
= 3.Wurzel ( 64 ) * 3. Wurzel ( 7 )
= 4 * 3.Wurzel ( 7 )
(das entspricht etwa 7,65 cm ).
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Man muss also Glas 2 beinahe ganz voll füllen, um mit seinem Inhalt das bis zur halben Füllhöhe gefüllte Glas 1 ganz füllen zu können!
Das kartesische Koordinatensystem ist das ganz normale, jedem Schüler bekannte Koordinatensystem mit einer x-Achse, einer senkrecht dazu stehenden y-Achse und gleichmäßiger Einteilung der Achsen.
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Danke für den Stern.
Welche Form hat das Sektglas? In einer Mathaufgabe könnte man damit rechnen, daß es genau Kegelförmig ist. Dann entspräche das Volumen des Sekts im 1. Glas etwa 37,698 cm² wenn es bis zur halben Höhe, also 4 cm hoch gefüllt ist. Bis zur halben Höhe heißt aber nicht halb voll.
Im einfachsten Fall ist das Glas genau Zylindrisch, ohne eine Rundung am Boden, was in der realen Welt nicht vorkommt. Da sind Sektgläser eher bauchig. Was benötigt wird ist auf jeden Fall eine genaue Beschreibung der Form und eine Definition von "bis zur Hälfte gefüllt". Heißt das bis zur halben Höhe oder bis zur Hälfte des Gesamtvolumens, was für eine Matheaufgabe etwas sehr einfach wäre (es sei denn man ist in der 1.Klasse).
Bis zur Hälfte der Höhe. Und das Sektglas ist Kegelförmig.. Wie kommst du auf die 37,698 cm²?
gute Idee, Sekt aus ner Kugel zu trinken! Wird das 1. Glas bis zur Hälfte der Höhe gefüllt oder mit der Hälfte der Flüssigkeit??
Musst das Volumen vom ersten ausrechnen. Sektglas ist Kugel. Also die Formeln von Kugel.
Vielen Dank, nur Leider hatten wir dieses Koordinatensystem nicht.