Notwendig Hinreichend wtf?
Hey Leute,
wir haben grade Kurvendiskussion und ich kreig das auch einigermaßen gut hin, nur haben wir eine übelst bescheuerte Aufgabe mit notwendig und hinreichende Bedingungen aufbekommen und ich bin total verwirrt :( zum Beispiel geben sie eine notwendige (nicht hinreichende) und eine hinreichende Bedingung dafür an, dass eine Zahl durch 12 teilbar ist.... ich hab jetzt einfach mal dieses Beispiel genommen, weil es am einfachsten ist und ich ja nur so den Sinn des ganzen verstehen will, bzw. wie mn das Unterscheidet, damit ich die restlichen Aufgaben noch machen kann :/
lG Charlie
5 Antworten
Eine notwendige Bedingung ist eine Eigenschaft, die die Zahl erfüllen muss, damit sie durch 12 teilbar ist. Das heißt aber nicht, dass diese Eigenschaft direkt bedeutet, dass die Zahl durch 12 teilbar ist.
Anders ausgedrückt: Wenn die Zahl die notwendige Bedingung nicht erfüllt, dann ist sie auch nicht durch 12 teilbar.
Beispiel: Die Zahl ist durch 6 teilbar ist eine notwendige Bedingung. Wenn eine Zahl nicht durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch nicht durch 12 teilbar.
Eine hinreichende Bedingung ist eine Eigenschaft, die die Zahl erfüllen kann und aus der man direkt folgern kann, dass die Zahl durch 12 teilbar ist. D.h. jede Zahl, die der hinreichenden Bedingung genügt, ist durch 12 teilbar. Das bedeutet aber nicht, dass jede durch 12 teilbare Zahl diese hinreichende Bedingung erfüllt.
Beispiel: Die Zahl ist durch 6 teilbar ist keine hinreichende Bedingung. Denn die Zahl 6 ist durch 6 teilbar, aber nicht durch 12.
Die Zahl ist durch 8 und durch 3 teilbar ist hingegen eine hinreichende Bedingung. Jede Zahl, die durch 8 und durch 3 teilbar ist, ist nämlich durch 24 teilbar. Und jede Zahl, die durch 24 teilbar ist, ist natürlich auch durch 12 teilbar.
Das ist aber keine notwendige Bedingung. Denn zum Beispiel ist 12 durch 12 teilbar, obwohl 12 nicht durch 8 teilbar ist.
Mindestens dann, wenn eine Zahl durch ein beliebigen Vielfaches v = 12k von 12 teilbar ist (z.B. durch 24 oder durch 36), dann ist sie auch durch 12 teilbar.
Also ist die Teilbarkeit durch v hinreichend für die Teilbarkeit durch 12.
Die Teilbarkeit durch ein vorgegebenes v ist aber nicht notwendig für die Teilbarkeit durch 12. Beispielsweise ist 36 durch 12 teilbar, ohne durch v = 24 teilbar zu sein.
Höchtens dann, wenn eine Zahl durch ein Teiler t = 12 / k ∈ IN von 12 12 teilbar ist (z.B. durch 6 oder durch 4), dann ist sie auch durch 12 teilbar.
Also ist die Teilbarkeit durch t notwendig für die Teilbarkeit durch 12.
Die Teilbarkeit durch ein vorgegebenes t ist aber nicht hinreichend für die Teilbarkeit durch 12. Beispielsweise ist 18 durch t = 6 teilbar, ohne durch 12 teilbar zu sein.
Notwendig heißt dass die Bedingung nötig ist, damit die geforderte Eigenschaft auftritt, aber nicht alles was die Bedingung erfüllt hat dann zwangsweise die geforderte Eigenschaft - umgekehrt kann man aber sagen alles was die Bedingung nicht erfüllt hat die geforderte Eigenschaft nicht
Zum Beispiel: Damit eine Zahl durch 12 teilbar ist, ist es notwendig dass sie gerade ist, aber nicht jede gerade Zahl ist durch 12 teilbar - umgekehrt: eine ungerade Zahl ist auch nicht durch 12 teilbar
Hinreichend heißt, sobald diese Bedingung erfüllt ist, hast du (zwangsläufig) die geforderte Eigenschaft
Zum Beispiel: Damit eine Zahl durch 12 teilbar ist wäre "sowohl durch drei als auch durch vier teilbar" eine hinreichende Bedingung
In den meisten Fällen sind hinreichende Bedingungen eine Erweiterung der notwendigen Bedingung
Am Beispiel: Wenn eine Zahl durch 3 und 4 teilbar ist, ist sie in jedem Fall schonmal gerade
Hallo Charliestern,
die beiden Begriffe "notwendige Bedingung" und "hinreichende Bedingung" verwendet der Mathematiker zum Beispiel beim Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkten. Hier ist es notwendig, die erste Ableitung gleich 0 zu setzen. Wenn dies getan ist und es eine Koordinate als Ergebnis gibt, sind die entstandenen Koordinaten die hinreichende Bedingung.
Beispiel:
f (x) 3x²+2x-2.
Notwendige Bedingung: f ' (x) = 0.
Ableitung von 3x²+2x-2 = 6x + 2.
6x+2 = 0 liefert x = -1/3.
Überprüfung, ob es sich um ein Hoch- oder Tiefpunkt handelt:
= f ' ' (x) = 6 = positiv-> Tiefpunkt.
Hinreichende Bedinung: f(-1/3) = -7/3.
Also TIP (-1/3 / -7/3).
Dies ist nur ein Beispiel für diese Begriffe, aber in anderen mathematischen Zusammenhängen ist die Bedeutung ähnlich.
MfG LenniWie
Notwendig wäre z.B. Es muss eine ganze ZAhl sein. Es muss eine gerade ZAhl sein. hinreichend: es muss ein ganzzahliges Vielfaches von 12 sein.